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1、随机过程与排队论计算机科学与工程学院 顾小丰 Email： *计算机科学与工程学院 顾小丰392上一讲内容回顾 随机变量及其分布程 随机变量、分布函数 离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量及其概率密度 常见的随机变量及其分布 n维随机变量 随机变量函数的分布*计算机科学与工程学院 顾小丰393本讲主要内容 随机变量的数字特征 数学期望 方差 k阶矩协方差 条件数学期望 随机变量的特征函数*计算机科学与工程学院 顾小丰3941.3 随机变量的数字特征一、数学期望若离散型R.V.X的分布律为pkPX=Xk，k=1,2,，当时，称为R.V.X的数学期望(均值)若连续型R.V.X的概率密度函数为f
2、(x),x(-,+)，当时，称为R.V.X的数学期望(均值)*计算机科学与工程学院 顾小丰395定理设Yg(X)，g(x)是连续函数1)若X是离散型R.V.，分布律为pkPX=Xk，k=1,2,，当 时，则有2)若X是连续型R.V.，概率密度函数为f(x)，x(-,+)，当 时，则有*计算机科学与工程学院 顾小丰396定理设Zg(X,Y)，g(x,y)是连续函数1)当(X,Y)是离散型R.V.,联合分布律为pij=PX=Xi,Y=Yj，i,j=1,2,，若则有2)若(X,Y)是连续型R.V.，概率密度函数为f(x,y)，x（-,+)，当时，则有*计算机科学与工程学院 顾小丰397二、方差设X是
3、随机变量，若EX-E(X)2存在，称 D(X)EX-E(X)2 为R.V.X的方差(或记为Var(X)，称为R.V.X的均方差或标准差。事实上有： D(X)EX-E(X)2 E(X22XE(X) E2(X) E(X2)-E2(X)*计算机科学与工程学院 顾小丰398常见随机变量的数学期望和方差 分布：E(X)p，D(X)pq； 二项分布XB(n,p)：E(X)np，D(X)npq； 泊松分布X()：E(X)D(X)； 均匀分布XU(a,b)： E(X)(a+b)/2，D(X)(b-a)2/12； (负)指数分布：E(X)1/，D(X)1/2； 正态分布XN(,2)：E(X)，D(X)2； -分
4、布X(,)： E(X)/，D(X)/2； 2-分布X2(n)：E(X)n，D(X)2n； 爱尔朗分布XEk：E(X)k/，D(X)k/2。 *计算机科学与工程学院 顾小丰399例泊松分布X()：泰勒展开式：*计算机科学与工程学院 顾小丰3910例2.(负)指数分布：E(X)1/，D(X)1/2；*计算机科学与工程学院 顾小丰3911三、k阶矩设R.V.X有E(|X|k)+，E|X-E(X)|k+，则称kE(Xk)为X的k阶原点矩；称kE(|X|k)为X的k阶绝对矩；称kEX-E(X)k为X的k阶中心矩；称kE|X-E(X)|k为X的k阶绝对中心矩。*计算机科学与工程学院 顾小丰3912四、协方
5、差若EX-E(X)Y-E(Y)，称cov(X,Y)EX-E(X)Y-E(Y)E(XY)-E(X)E(Y)为随机变量X和Y的协方差，称为随机变量X和Y的相关系数，称XY0为随机变量X和Y不相关。*计算机科学与工程学院 顾小丰3913协方差矩阵设n维R.V.(X1,X2,Xn)，若cijcov(Xi,Xj)EXi-E(Xi)Xj-E(Xj)i,j1,2,n存在，则称为n维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。*计算机科学与工程学院 顾小丰3914协方差矩阵协方差矩阵中元素满足：1)ciiD(Xi)，i=1,2,n；2)cijcji，i,j=1,2,n。故协方差矩阵是对称矩阵。特别地，二维随机变
6、量(X,Y)的协方差矩阵为：*计算机科学与工程学院 顾小丰3915五、随机变量数字特征的性质E(aX+b)aE(X)+b，D(aX+b)a2D(X)，a,b为任意常数；2.对任意常数ak，k=1,2,n，有3.|XY|14.许瓦兹不等式成立：5.协方差的性质：(1)cov(X,Y)cov(Y,X) (2)cov(X1+X2,Y)cov(X1,Y)+cov(X2,Y) (3)cov(aX+bY,cX+dY)=acD(X)+bdD(Y)+(ad+bc)cov(X,Y)*计算机科学与工程学院 顾小丰3916随机变量数字特征的性质6.方差的计算公式 D(X)E(X2)-E2(X) 0 特别地，当D(X
7、)0的充分必要条件是PX=E(X)1。7.Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y) 特别地， Cov(X,X)D(X)*计算机科学与工程学院 顾小丰3917例设二维R.V.(X,Y)的联合概率密度为求：(1).cov(X,Y)，XY和C；(2).讨论X与Y的独立性。解：(1).011yx0x1, 0yx 0y1, yx1 011xy*计算机科学与工程学院 顾小丰3918例（续）*计算机科学与工程学院 顾小丰3919例（续）由于f(x,y) fX(x)fY(y)，故X与Y不独立。*计算机科学与工程学院 顾小丰39201.4 条件数学期望设(X,Y)为离散型二维随机变量，其联合分布律 为pij，
8、i,j=1,2,，若则称为已知Y=yj的条件下，R.V.X的条件数学期望，称为已知X=xi的条件下，R.V.Y的条件数学期望。*计算机科学与工程学院 顾小丰3921条件数学期望设(X,Y)为连续型二维随机变量，其联合概率密 度为f(x,y)，若则称为已知Y=y的条件下，R.V.X的条件数学期望，称为已知X=x的条件下，R.V.Y的条件数学期望。*计算机科学与工程学院 顾小丰3922定理设g(x)为连续函数， (1)若则(2)若则*计算机科学与工程学院 顾小丰3923条件方差称D(X|Y=y)EX-E(X|Y=y)2为Y=y条件下，随机变量X的条件方差。*计算机科学与工程学院 顾小丰3924条件
9、数学期望的性质E(C|Y)C，C为常数； E(aX+bY|Z)aE(X|Z)+bE(Y|Z)，a,b为常数； 如果X与Y独立，则E(X|Y)E(X)； E(X)EE(X|Y)； Eg(X)EEg(X)|Y； Eg(X)h(Y)|Xg(X)Eh(Y)|X； Eg(X)h(Y)|Yh(Y)Eg(X)|Y； Eg(X,Y)EEg(X,Y)|Y； EX-E(X|Y)2EX-E(Y)2。设X,Y,Z为随机变量，g(.)和h(.)为连续函数，下列期望和条件期望均存 在，则全期望公式*计算机科学与工程学院 顾小丰3925例设在某一天内进入某商店的顾客数是数学 期望为100的随机变量。又设这些顾客所花的钱为
10、数学期望是50元的相互独立的随机变量。再设一个顾客花钱数和进入商店的总人数相互独立。试 问在给定一天内，顾客在该店所花的钱的期望值 是多少？解：设N表示进入某商店的顾客人数，Xi表示第i个顾客所花的钱数，则N个顾客所花钱的总数为，现在要求EY。*计算机科学与工程学院 顾小丰3926例(续)由全期望公式： E(Y)EE(Y|N)而因为Xi与N相互独立，且E(Xi) E(X)，从而 E(Y|N)NE(X) E(Y)E(NE(X)E(N)E(X) 由假设，E(N)100，E(X)50，故E(Y)5000。由此得，顾客们花费在 该商店的钱的数学期望值为5000元。*计算机科学与工程学院 顾小丰3927
11、1.4 特征函数随机变量X的特征函数定义为X(u)=E(eiuX)，i当R.V.X为离散型随机变量时，当R.V.X为连续型随机变量时，*计算机科学与工程学院 顾小丰3928例1 二项分布 XB(n,p)特征函数：*计算机科学与工程学院 顾小丰3929例2 泊松分布 X()特征函数：*计算机科学与工程学院 顾小丰3930例3 (负)指数分布特征函数：*计算机科学与工程学院 顾小丰3931例4 k阶爱尔朗分布 XEk 特征函数：*计算机科学与工程学院 顾小丰3932特征函数的性质X(0)1；X(u)X(0)；X(u)X(-u)；7.如果R.V.X的k阶原点矩存在，则X的特征函数X(u)有n阶导数，
12、且E(Xk)(-i)kX(k)(0)4.设YaX+b，则Y(u)eiubX(au)；5.X(u)在(-,+)上一致连续；6.X(u)是非负定函数，即对任意的ui,zi，i=1,2,n，有*计算机科学与工程学院 顾小丰3933特征函数的性质8. (逆转公式或反演公式)设随机变量X的分布函数为F(x)，x1,x2是F(x)任意连续点，有9.(唯一性定理)随机变量X的分布函数F(x)与特征函数X(u)是一一对应且相互唯一确定的。其相互关系如下：*计算机科学与工程学院 顾小丰3934二维随机变量的特征函数二维随机变量(X,Y)的特征函数定义为(u,v)=Eei(uX+vY)。当R.V.(X,Y)为离散
13、型随机变量时，当R.V.(X,Y)为连续型随机变量时，定理7：若R.V.X与Y相互独立，则 X+Y(u)X(u)Y(u)。*计算机科学与工程学院 顾小丰3935例设X1,X2,Xn,是相互独立、服从参数为的负指数分布,则YkX1X2Xk,k1,2,服从参数为的k阶爱尔朗分布。*计算机科学与工程学院 顾小丰3936证明：因为 Xi （i=1,2,）的特征函数为： 由于X1,X2,Xn,是相互独立，故YkX1X2Xk的特征函数为：这正好是参数为的k阶爱尔朗分布的特征函数，故Yk服从参数为的k阶爱尔朗分布。*计算机科学与工程学院 顾小丰3937本讲主要内容 随机变量的数字特征 数学期望 方差 k阶矩协方差 条件数学期望 随机变量的特征函数*计算机科学与工程学院 顾小丰3938下一讲内容预告随机过程的基本概念随机过程的定义随机过程的分布随机过程的数字特征几种重要的随机过程独立过程独立增量过程*计算机科学与工程学院 顾小丰3939习题一15. 16. 25.P4851
