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1、浙江大学城市学院线性代数期末试卷及解答浙江大学 姜豪 汇编2012 年 2 月1目 录第一部分 试卷真题城院线代 1112 学年第一学期期末试卷2城院线代 1011 学年第二学期期末试卷4城院线代 1011 学年第一学期期末试卷6城院线代 0910 学年第二学期期末试卷7城院线代 0910 学年第一学期期末试卷9第二部分 答案与评估城院线代 1112 学年第一学期期末试卷答案11城院线代 1112 学年第一学期期末试卷难度与题量评估12城院线代 1011 学年第二学期期末试卷答案12城院线代 1011 学年第二学期期末试卷难度与题量评估13城院线代 1011 学年第一学期期末试卷答案13城院线
2、代 1011 学年第一学期期末试卷难度与题量评估14城院线代 0910 学年第二学期期末试卷答案14城院线代 0910 学年第二学期期末试卷难度与题量评估16城院线代 0910 学年第一学期期末试卷答案16城院线代 0910 学年第一学期期末试卷难度与题量评估17第三部分 试题详解城院线代 1112 学年第一学期期末试卷详解18城院线代 1011 学年第二学期期末试卷详解24城院线代 1011 学年第一学期期末试卷详解31城院线代 0910 学年第二学期期末试卷详解37城院线代 0910 学年第一学期期末试卷详解.432第一部分 试卷真题 城院线代 1112 学年第一学期期末考试卷一、填空题（
3、每空 2 分，共 20 分）13 阶行列式 中 的余子式为 ， 的代数余子式为13072a_23a._2设 均为 3 阶方阵，且 ，则BA , | ,|BA_,|TA。_|)(|13已知向量 ，且 ，则 ， 。1T2014已知向量组 线性无关， 线性相关，则 （填能或不32, 4321,_4能）由 线性表示。1,5已知 3 阶可逆方阵 有一特征值为 2，则 必有一特征值为 ，A1A必有一特征值为 ， 。EA2_|2|3EA二、问答题（每题 4 分，共 20 分）1已知方阵 满足关系式 ，则 可逆吗？说明理由。OEA222已知 3 元非齐次线性方程组 有两个不同的解向量 ，且秩 ，bX21 ,2
4、)(AR则此非齐次线性方程组的通解为 （ 为任意常数）吗？说明理由。21c21 ,3已知 ，则 能否对角化？说明理由。20143AA4判断矩阵 是否是正交矩阵，并说明理由。45 是否是 的一组基？说明理由。TTT 31,12,32133R3三、简单计算题（每题 6 分，共 30 分。只写答案无过程不得分。 ）1计算行列式 1026331D2已知矩阵方程 ，且 ，求 。BX20X3设矩阵 的秩为 2，求 的值。321baAba ,4求齐次线性方程组 的基础解系和通解。12341234056xx5求矩阵 的特征值与特征向量。53A6已知向量 ，而向量 在 的基 ，T213RTT01,12下的坐标为
5、 ，求向量 的内积。T013T1 ,四，计算题（第 1 题 10 分，第 2 题 14 分，共 24 分。只写答案无过程不得分。 ）1已知向量组 。问 为何值时此向量TTTa21,0,3 a组线性无关？ 为何值时此向量组线性相关？在线性相关时求出一组极大无关a组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。2设二次型 ，求一正交变换 ，将3231212321 xxxf UYX此二次型化为标准形，并写出标准形。五，证明题（本题 6 分）已知方阵 能对角化，即存在可逆矩阵 使得 ，其中 为对角矩阵，APA1又 ，证明 也能对角化。Eaam01)()(4 城院线代 1011 学年第二学期期末试卷一，填空题（
6、每空 2 分，共 20 分）13 阶行列式 _94132 _,0dcba2设 是 3 阶方阵，且 的秩 而 ，则 （请填AA,)(R42105B_B“是”或者“不是”）可逆矩阵， _)(3已知向量 ，且 ，则T20TA2014设矩阵 ，那么齐次线性方程组 的通解为01AOX_5已知 3 阶方阵 的特征值为 ，且 ，则a ,3236|A_, a而 。2 |5|_AE6 所对应的二次型为 ，此二次型的秩为104。_二，问答题（每题 5 分，共 20 分）1一位同学计算一个 3 阶行列式时做了如下的计算： ，请判251980254112r断该同学的做法是否正确，并说明理由。2如果矩阵 的秩为 1，那
7、么 取何值，并说明理由。a1a53在非齐次线性方程组 中，若 ，则此方程组必有无穷多解吗？请bXAn0|A说明理由。4设 3 是可逆矩阵 的一个特征值，则矩阵 有一个特征值等于多少？说明124理由。三，简单计算题（每题 5 分，共 20 分,只写答案无过程不得分）1. 计算行列式 2140422. 已知矩阵方程 ，且 ，求 。XAB 35021 ,10BX3. 求非齐次线性方程组 的通解，并用向量形式表示：53 322421431xx4求向量组 ,132,01,431 TTT 的秩和一个极大线性无关组。T5已知 ，求一组非零向量 ，使 两两正交。1 32,321,6求向量 在 的基： ， ，T
8、523RT01T1下的坐标。3四，计算题（每题 12 分，共 24 分，只写答案无过程不得分）1已知矩阵 与 相似， （1）求 ；xA421yB03yx ,（2）若 ，求 的特征值及 。EA29)(810)()(A2设二次型 ，求一正交变换： ，将二次型化为标33121xxf UYX准形，并写出标准形。五，证明题（本题 6 分）6设 是齐次线性方程组 的基础解系， 是非齐次线性方程组321,OAX的解。证明：（1） 线性无关；（2） 线bAX321, , , ,321性无关。 城院线代 1011 学年第一学期期末试卷一，填空题（每空 2 分，共 20 分）1已知 3 阶行列式 ，则 的代数余子
9、式1530|ija12a_| _,A2设 3 阶方阵 的行列式 ，则A| _,| 2A3已知向量 ，则1232,0,41234设非齐次线性方程组 ，且)( ,34ARbX是该方程组的解，则此非齐次线性方程组的通TT21,0221 解为 _5已知 3 阶方阵 与 相似，且 的秩 ，则ABA2)(R_| ,)(B6矩阵 所对应的二次型为 ，且此1524_二次型的秩为 。_二，问答题（每题 5 分，共 20 分）15 阶行列式的项 的符号为 ，请说明理由。53412a_2 是初等矩阵吗？请说明理由。0F3 阶实对称矩阵 一定有 个不同的特征值吗？（正确说明理由，错误请举反例）nAn4向量组 是不是
10、3 维向量空间 的TTT 23,20,1221 3R一组基？请说明理由。7三，简单计算题（每题 5 分，共 30 分，只写答案无过程不得分）1已知 ，求 。421A92,A2用初等行变换法求方程组 的通解，并用基础解系表示。04321x3已知向量组 ，则 取何值时该向量TTT t12,0231 t组线性相关，并在线性相关时求此向量组的一个极大线性无关组。4已知矩阵 与 相似，求xA13102yBy ,x5已知 是 3 阶实对称矩阵 的三个特征值，向量 是属于特 ,1AT101征值 1 的特征向量，求 的属于特征值 的全部特征向量。6求向量 在 的基 ，T423RT01,2T，下的坐标。T3四，
11、计算题（每题 12 分，共 24 分，只写答案无过程不得分）1已知 3 阶矩阵 的三个特征值为 ，它们所对应的特征向量分别为A2 ,1，若 ，求：35 ,10 ,21 EAA24)(35（1） 的特征值；（2） 。)(A2设二次型 ，求一正交变换： ，323121231 xxxf UYX将此二次型化为标准形，并写出标准形。五，证明题（本题 6 分）设 是 型矩阵， ，而 ，证明：（1） 是可逆的；A342)(AR302BB（2）矩阵 的列向量组线性相关。B 城院线代 0910 学年第二学期期末试卷8一填空题(本大题共 10 空，每空 2 分，共 20 分)1已知 3 阶行列式 ，则：13456
12、789ija的余子式 ， 的代数余子式 。23a12a2设 ,且 ， 则 。253fAE3AfA3设方阵 满足 ,则 可逆，且 .2014已知方程组 无解，则 . 1X4. 设 ，则此向量组线性12303,40,271TTT（填相关或者无关） ，此向量组的秩为 ，.6. 已知 与 相似，则 .5xy102,xy7. 是实对称矩阵 的分别属于特征值 的特征向量，且 ，则内积12,A12,12.二问答题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）1若方阵 都是可逆矩阵，则 也是可逆矩阵吗？（正确请证明，错误请,ABAB举例说明。 ）2二维向量 线性相关的充分必要条件是 吗？1212,TTab
13、1210ab（正确请证明，错误请举例说明。 ） 3若方阵 可逆，且满足 , 则 的特征值只能为 ，请说明理由。A2A4.二次型 的矩阵为 吗？请说明理由.121212,3fxx203三简单计算题(本大题共 6 题，每题均 5 分，共 30 分。只写答案无过程不得分。)1.已知 ， ,且 ,求 .12A124BAXB92.用初等行变换法求方程组 的通解.12308x3.求向量组 的极大1234,12,123TTTT 线性无关组.4. 已知矩阵 ，问 取何值时， 能对角化.023AaA5. 已知 3 阶方阵 的行列式 ，且 的三个特征值为 .求：(1) ；2A31,23（2） 的特征值. 32E6. 求向量 在 的基10T3R1230,0,12TTT下的坐标.四计算题(本大题共 2 题，每题 12 分
