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1、一、定积分的元素法 二、平面图形的面积第七节 定积分的几何应用三、旋转体的体积四、平行截面面积已知的立体的体积 五、小结回顾 曲边梯形求面积的问题一、定积分的元素法ab xyo面积 元素这个方法通常叫做元素法应用方向：平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。二、平面图形的面积如何用元素法分析？， 二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形的面积如何用元素法分析？第二步：写出面积表达式。 二、平面图形的面积如何用元素法分析？平面曲线的函数表达式：(1)曲线可表示为函数：y=f(x)设曲线上任意一点为(x,y). 则曲线的函数表达式分为 xyxy(2)曲线可表示为函数：x=f(y)xyyx
2、平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积abxyOS1则椭圆的面积为解：设椭圆在第一象限的面积为S1。例平面图形的面积2平面图形的面积2平面图形的面积2c平面图形的面积2cx1O-1 1 y解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。S 2 例下页解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。S 2 2 例下页平面图形的面积3平面图形的面积3平面图形的面积平面图形的面积二、立体的体积设一立体在x轴上的投影区间为a, b ，过x点垂直于 x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。xOabx+dx立体的体积元
3、素为：所求立体的体积为：dV=S(x)dx。 x下页1 . 已知平行截面面积求立体的体积1 . 已知平行截面面积求立体的体积二、立体的体积设立体在y轴上的投影区间为c, d ，过y点垂直于y 轴的截面面积S1(y)是y的连续函数，求此立体的体积。立体的体积为：下页设一立体在x轴上的投影区间为a, b ，过x点垂直于 x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。Oxbayyf (x)讨论:旋转体的体积怎样求？ 答案：下页2 . 旋转体的体积x区间a, b上截面积为S(x)的立体体积：(1) 由连续曲线 yf (x)、 直线 xa 、xb 及 x 轴所 围成的曲边梯形绕 x轴旋 转一周而
4、成的立体。xcdy讨论:旋转体的体积怎样求？ 答案：下页2 . 旋转体的体积y区间c, d上截面积为S1(y)的立体体积：(2)由连续曲线 xj (y)、 直线 yc 、yd 及 y 轴所 围成的曲边梯形绕 y 轴 旋转一周而成的立体。xj(y)曲线yf(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积：解：椭圆绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积： xyOab分别绕x轴与y轴旋转产生的旋转体的体积。例1下页曲线xj(y)绕 y轴旋转而成的立体体积：-a-a解：椭圆绕 y 轴旋转产生的旋转体的体积： xyOab分别绕x轴与y轴旋转产生的旋转体的体积。例1下页曲线yf(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积：曲线xj(y
5、)绕 y轴旋转而成的立体体积：-b-b例2 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底 半径为r、高为h的圆锥体。计算这圆锥体的体积。所求圆锥体的体积为 hrxyO解：首页曲线yf(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积：曲线xj(y)绕 y轴旋转而成的立体体积：解两曲线的交点面积元素选 为积分变量解两曲线的交点选 为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：积分变量只能选 吗 ？xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积 ：考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？ xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量：
6、考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？ 解两曲线的交点选 为积分变量解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做 旋转轴圆 柱三、旋转体的体积(volume of body)（1）圆 锥圆 台三、旋转体的体积(volume of body)（3 ）（2 ）xyo旋转体的体积为解直线 方程为解解01xy补充利用这个公式，可知上例中解体积元素为如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积四、平行截面面积已知的立体的体积解取坐标系如图底圆
7、方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积五、小结定积分的元素法平面图形的面积旋转体的体积平行截面面积已知的立体的体积思考题1思考题1解答xyo两边同时对 求导积分得所以所求曲线为曲线 y = f (x) 及直线 y = kx + b ,所围成的曲边梯形, 求D绕直线y = kx + b旋转所成立体的体积.上有连续导数, D为思考题2如右图示, L：NTMy =f (x)dlD曲线在M点处的切 线MT为：思考题2解答应用定积分的元素法，考虑子区间x, x+dx. 设相 应于x, x+dx的曲线弧段在直线L上的投影长为dl, 则当子区间的长充分小时, 取切线MT上对应于右 端点x +dx的点 到垂线 的距离为dl, 则而M点到直线L的距离为从而得所以曲边梯形D绕直线L旋转所成立体体积为思考题3思考题3解答交点立体体积练 习 题！练习题答案
