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1、1 1JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 立信会计学院数统系立信会计学院数统系JinswJinswJinswJinsw2 2JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 微 积 分微 积 分微 积 分微 积 分3 3JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 函数极限存在的充分必要条件函数极限存在的充分必要条件 )()(lim0Axf xx= )(lim)(lim00Axfxf xxxx= +例例函数 2111 =xey当1x时的极限是否存在？ 解：解：,1(x,11x)011 xe2121lim)(lim1111= = xxxexf4 4
2、JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 ,1(x,11x)011 xe0 21lim)(lim1111= =+ xxxexf)(lim)(lim 11xfxf xx+)(lim 1xf x不存在。 ,1(+x,11+x)11 +xe21)(lim 1= xf x2111 =xey5 5JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 例例设 ，021，当2010 00，0,min21=，当，0，当= Axf xx（或0xf（或0)(= Axf xx（0A） ，则总存在一个正数，当。1010JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 证：证：设0A，
3、 取2A= 由Axf xx= )(lim0, 0,2=A则)(xfA=AAAxf同理可证0，使得当M，0，当)(。 , 0令, 01=M, 0当 Mxf ，0，当M令, 01=M, 0当)(11616JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 例：例：求)1(limxx x+ +。 解：解：原式)1()1)(1(limxxxxxxx+xxx+= +11lim 1111lim += +xxx注：注：不可0)1(lim=+ +xx x。 1717JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 例：例：求 +13 11lim31xxx。 解：解： 原式) 1)(1(31l
4、im221+xxxxxx) 1)(1(2lim221+= xxxxxx) 1)(1()2)(1(lim21+= xxxxxx12lim21+= xxxx注：两无穷大量之差的结果不确定。注：两无穷大量之差的结果不确定。1818JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 定理：定理：证：证：Axf xx= )(lim0， 则 在0x附 近 ，+=Axf)(，0lim0= xx。反之亦成立。 )(设Axf xx= )(lim0令Axf=)( 0lim xx)(lim0Axf xx= Axf xxxx00lim)(lim =AA=0= )(设+= Axf)(，0lim0= xx)(li
5、m0xf xxlim0+= A xx00limlim xxxxA +=0+=AA=1919JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 （）（）有限个无穷小量的和仍为无穷小量。 0)(lim)(lim00= xgxf xxxx0)()(lim0=+ xgxf xx0，021，当2010 00，0,min21=，当，01，当100，0,min21=，当，当200MMxg。 2121JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 例：例：求xx x1sinlim 0。解：解：11sinx，0lim 0= x x原式例：例：求xxxcoslim 。 解：解：1cosx，01
6、lim= xx原式例：例：求)1cos(lim 0xxx x+ 。 解：解：1)1cos(+ xx，0lim 0= x x原式2222JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 .极限运算法则.极限运算法则基本初等函数 初等函数构成方法初等函数 基本初等函数的极限 初等函数构成方法初等函数的极限 初等函数构成方法之一： 四则运算四则运算如：如：) 123(lim21+ xx x1limlim2lim3 1121+= xxxxx112)lim(321+= x x12132+=2=0 0limxx xx= 2323JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 定理、：
7、定理、： 设BxgAxf xxxx= )(lim,)(lim00，则有 （）（）)()(lim0xgxf xx （）（）)()(lim0xgxf xx BAxgxf xxxx= )(lim)(lim00BAxgxf xxxx= )(lim)(lim00（）（）当0B时，BA xgxfxgxfxxxxxx=)(lim)(lim)()(lim0002424JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 证：证：BAxgxf xx= )()(lim00，021，当2010 00，0,min21=，当00xx时，有 )()(BAxgxf)()(BxgAxf=BxgAxf+)()(=+22
8、用归纳法推广至有限。Axf xx= )(lim0Bxg xx= )(lim02525JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 推论：推论：（）（）)(lim)(lim00xfcxfc xxxx=（）（）nxxnxxxfxf)(lim)(lim00=（）（）nxxnxxxfxf11 )(lim)(lim00=例例) 123(lim21+ xx x 解：解：=原式1limlim2lim3 1121+ xxxxx112)lim(321+= x x 12132+=2=2626JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 )(lim011 1 0axaxaxan nn n
9、xx+ ?0011 010axaxaxan nn n+= ?例例1352lim22+xxxx解：解：07) 13(lim 2=+ x x=原式) 13(lim)52(lim222 + xxxxx 75=一般：一般：2727JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 例例45lim22xxx解：解：0)4(lim22= x x0105lim 2= x x则054lim22=xxx=原式例例13322lim42+nnnn解：解：=原式0例例13122lim423+xxxx解：解：=原式02828JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 例例1812lim23+xx
10、x解：解：01218lim32 =+xxx =原式例例93lim23xxx解：解：=原式)3)(3(3lim 3+xxxx61=例例)321 (21lim2nnn+ ?解：解：=原式2) 1( 21lim2nn nn+41=2929JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 定理：定理：若)()(xx，而Ax xx= )(lim0，Bx xx= )(lim0，则有BA。 )()(lim0xx xx 证：证：)(lim)(lim00xx xxxx =BA=0（.定理推论）（.定理推论）定理：定理：若ax xx= )(lim0，)(xu=， 而)()(lim0afuf xx= ，则
11、有)()(lim0afxf xx= 。 )(lim)(lim00xfxf xxxx =即：极限存在时，函数与极限的计算可交换。极限存在时，函数与极限的计算可交换。3030JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 .两个重要极限.两个重要极限)()(lim0Axf xx= ? )(lim)(lim00Axfxf xxxx= +函数在0xx 时的极限是否存在的判别标准为：充分条件充分条件 1sinlim 0= xxxexxx= + 11lim函数极限存在的充分必要条件函数极限存在的充分必要条件3131JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 一夹逼准则一夹逼准则
12、 准则：准则：若 数 列)(,+Nnzyxnnn满 足)(+Nnzxynnn，且azynnnn= limlim，则axn n= lim。 如：如：nnnnxn + + += 22212111?111111222+ + += nnnyn?nnnnnnzn + + += 222111?3232JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 nnnnxn + + += 22212111?1lim= nny11111112222+= + + += nnnnnyn?nnnnnnnnnzn += + + += 2222111?1lim= nnz1lim= nnx11lim12= + =ninin3333JINSWJINSWJINSWJINSW 本科本科本科本科 本周内容（）本周内容（）第周第周 无穷大量与无穷小量，极限运算法 则，极限存在准则与两个重要极限无穷大量与无穷小量，极限运算法 则，极限存在准则与两个重要极限，无 穷小量的比较。 作业：作业：、 、 、 、
