《首届全国大学生数学竞赛赛区赛试题与解答(非数学类)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《首届全国大学生数学竞赛赛区赛试题与解答(非数学类)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷（非数学类，2009） 一、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 1计算 yxyxxyyxDdd1)1ln()( _，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. D1 yx2 设是连续函数， 且满足,则_. )(xf2022d)(3)(xxfxxf)(xf3曲面2222 yxz平行平面022zyx的切平面方程是_. 4设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则)(xyy 29ln)(yyfexef1 f22dd xy_. 二、 （5 分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数. 三、 （15 分）设函数连续，且)(xf10d)()(
2、txtfxgAxxfx )(lim 0，A为常数，求并讨论在处的连续性. )(xg)(xg0x四、 （15 分）已知平面区域0,0| ),(yxyxD，为的正向边界，试证： LD（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin； （2）2sinsin 25ddLyyxyeyxe. 五、 （10 分）已知，是某二阶常系数线性非次齐微分方程的三个解，试求此微分方程. xxexey2 1xxexey2xxxeexey2 3六、 （10 分）设抛物线过原点.当cbxaxyln2210 x时,又已知该抛物线与0yx轴及直线所围图形的面积为1x31.试确定,使此图形绕cba,x轴
3、旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、 （15 分）已知满足, 且)(xun), 2 , 1()()(1nexxuxuxn nnneun) 1 (, 求函数项级数之和. 1)(nnxu八、 （10 分）求时, 与等价的无穷大量. 1x02nnx首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷（非数学类，2009） 一、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 1计算 yxyxxyyxDdd1)1ln()( _，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. D1yxv解 令xuyx,vu，则yvx ,，vuvuyxdddd1110detdd ， vuuvuuuyxyxxyyxDDdd1lnlndd1)1ln()(
4、1021000d1)ln( 1lnd)dln1d1ln(uuuuuu uuuuvvuuvuuuuu102 d1uuu（*） 令ut1，则，21tudt2dtu， 42221ttu)1)(1 ()1 (2tttuu0142d)21 (2(*)ttt 1042d)21 (2ttt1516 51 3221053 ttt 2 设是连续函数， 且满足, 则_. )(xf2022d)(3)(xxfxxf)(xf解 令，则， 20d)(xxfA23)(2AxxfAAxAxA24)2(28d)23(202, 解得34A。因此3103)(2 xxf 3曲面2222 yxz平行平面022zyx的切平面方程是_.
5、解 因平面的法向量为022zyx) 1, 2 , 2(，而曲面2222 yxz在处 的 法 向 量 为),(00yx) 1),(),00,(00yxzyy2yxzxxzxzy， 故与平行，因此，由，) 1),(),(0000yxzyxzyx) 1, 2 , 2(知00002),(2 ,yyxzxy00),(yxzx2， 即， 又1, 200yx1) 1 , 2(),(00 zyxz， 于是曲面022zyx在(),(,0000yxzyx处的切平面方程是0) 1() 1(2)2(2zyx，即曲面2222 yxz平行平面 022zyx的切平面方程是0522zyx)(xy29ln)(yyfexe。 4
6、设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则yf1f22dd xy_. 解法 1 方程的两边对29ln)(yyfexex求导，得 29ln)()(yeeyyf xyyf)(eyf即 29ln)()(yyfeyxeyyf0)y1x(fy因，故29ln xeeyyyfx)(1，即)(1 (1 yfxy，因此 2222)(1 )( )(1 (1 dd yfxyyf yfxyxy 322232)(1 )(1 )( )(1 (1 )(1 )( yfxyfyf yfxyfxyf 解法 2 方程取对数，得29ln)(yyfexe29lnlnln)(yxyf （1） 方程（1）的两边对x求导，得yxyyf1)(
7、 （2） 即)(1 (1 yfxy （3） 方程（2）的两边对x求导，得yxyyfyyf 221)()( （4） 将（3）代入（4） ，得 yxyfxyfyyf 2221 )(1 ()()( 将左边的第一项移到右边，得 )(1 ()(1 ()(1 ()(222 yfyyfxyfyf 因此 322)(1 )(1 )( yfxyfyfy 二、 （5 分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数. 解法 1 因 xenxxxxxenxxxxnneee neee)1 (lim)(lim2020故 nxneeeexe nneeeAnxxxxnxxxx2020limlimen nn
8、enneeeenxxxx21212lim20 因此 en Axenxxxxeeneee2120)(lim解法 2 因 xneeeeneeenxxxxxenxxxxln)ln(lim)ln(lim2020en nneeeeneeeenxxxnxxxx21212lim220 故 en Axenxxxxeeneee2120)(lim三、 （15 分）设函数连续，且)(xf10d)()(txtfxgAxxfx )(lim 0，为常数，求并讨论在处的连续性. A)(xg)(xg0x解 由Axxfx )(lim 0和函数连续知，)(xf0)(limlim)(lim)0( 000 xxfxxff xxx因，
9、故， 10d)()(txtfxg0)0(d)0()0(10ftfg因此，当时，0xxuufxxg 0d)(1)(，故 0)0(1)(limd)( lim)(lim 0000 fxf xuuf xg xxxx当时， 0xxxfuufxxgx)(d)(1)( 02， 200000d)( limd)(1lim)0()(lim)0(xttfxttfx xgxggxxxxx22)(lim 0A xxfx 22d)(1lim)(lim)(d)(1lim)(lim 02000200AAAuufxxxf xxfuufxxgxxxxxx这表明在处连续. )(xg0x四、 （15 分）已知平面区域0,0| ),(
10、yxyxD，为的正向边界，试证： LD（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin； （2）2sinsin 25ddLyyxyeyxe. 证 因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知 D（1）yxyeyxexxyeyxeDxyLxydd)()(ddsinsinsinsin yxeeDxydd )(sinsin LxyxyeyxeddsinsinyxyeyxexDxydd)()(sinsin yxeeDxydd )(sinsin而关于Dx和y是对称的，即知 yxeeDxydd )(sinsinyxeeDxydd )(sinsin因此 LxyLxyxyeyxex
11、yeyxeddddsinsinsinsin（2）因 )1 (2)! 4! 21 (2242 ttteett 故 22cos5 22cos12sin22sinsinxxxeexx由 DxyLDxyyyyxeeyxeexyeyxedd)(dd )(ddsinsinsinsinsinsin知 DxyLDxyyyyxeeyxeexyeyxedd)(21dd )(21ddsinsinsinsinsinsinDxxDxxDyyyxeeyxeeyxeedd)(dd)(21dd )(21sinsinsinsinsinsin200sinsin 25d22cos5d)(xxxeexx即 2sinsin 25ddL
12、yyxyeyxe 五、 （10 分）已知，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. xxexey2 1xxexey2xxxeexey2 3解 设，是二阶常系数线性非齐次微分方程 xxexey2 1xxexey2xxxeexey2 3)(xfcyyby 的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程 xxeeyy2 12xeyy13 0 cyyby 的解，因此0 cyyby的特征多项式是0) 1)(2(，而0 cyyby的特征多项式是 02cb 因此二阶常系数线性齐次微分方程为02 yyy，由)(2111xfyyy 和 xxxexeey2 12， xxxexeey2 142 知，1112)(yyyxf )(2)2(42222xxxxxxxxexeeexeeexe xex)21 ( 二阶常系数线性非齐次微分方程为 xxxeeyyy22 六、 （10 分）设抛物线过原点.当cbxaxyln2210x时,又已知该抛物线与0yx轴及直线所围图形的面积为1x31.试确定,使此图形绕cba,x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 解 因抛物线过原点，故cbxaxyln221c，于是 2323dt)(311023102baxbxabxax 即 )1 (32ab 而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为 10221022dt)1 (32(dt)()(xaaxbxaxaV
