《偏微分课后习题答案终极版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《偏微分课后习题答案终极版（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、偏微分方程答案整理（部分）偏微分方程答案整理（部分） 第一章第一章 2、 一均匀细杆直径为l，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质 发生热交换，服从于规律 dsdtuukdQ)(11= 又假设杆的密度为，比热为c，热传导系数为k，试导出此时温度u满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x轴，此时杆为温度),(txuu =。记杆的截面面积42l为S。由假设，在任意时刻t到tt+内流入截面坐标为x到xx+一小段细杆的热量为 txs xuktsxuktsxukdQxxxx =+221杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t到tt+在 截面为x到xx+一
2、小段中产生的热量为 ()()txsuulktxluukdQ=111124 又在时刻t到tt+在截面为x到xx+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()txstucxstxuttxucdQt=+=,3由热量守恒原理得： ()txsuulktxs xuktxstucxt = 11 224 消去txs，再令0x，0t得精确的关系： ()11 224uulkxuktuc = 或 ()()11 222 11 2244uulckxuauulckxu ck tu = = 其中 cka=23、细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以 u(x,t)表示静止时在 x 点处的点在时刻 t 离开原来位置的偏
3、移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(txu满足方程 ( ) = xuExtuxt 其中为杆的密度，E为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与+xx。现在计算这段杆 在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为： ),();,(txxuxxtxux+ 其相对伸长等于 ),(),(),(txxuxxtxuxtxxuxxx+=+ 令0x，取极限得在点x的相对伸长为xu),(tx。由虎克定律，张力),(txT等于 ),()(),(txuxEtxTx= 其中)(xE是在点x的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(xS则作用在杆段),(xxx+两端的力分别为
4、 xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,(+).,(txx+ 于是得运动方程 ttuxxsx )()(xESutx=),(xxxxxESuxx| )(| )(+利用微分中值定理，消去x，再令0x得 ttuxsx)()(x=xESu() 若=)(xs常量，则得 22 )(tux=)(xuxEx 即得所证。 4、化下列方程为标准型 （1）0254=+yxyyxyxxuuuuu； （2）0222=+yyxyxxuyxyuux； （3）0)sin3(cos22=+yyyxyxxyuuxxuu。 解： （1）0254=+yxyyxyxxuuuuu 因 0154=+=xx为双曲型.特征方程
5、为 0)sin3(cos2)(22=+xdxdyxdxdy解之得 2cos=xdxdy =+=+ +=+=2121 2sin2sin2sin2sincxxycxxycxxycxxy因此引变换 =+= yxxyxx sin2sin2 有 )cos2()cos2(xuxu xu+= + + += uxuxuxuxux xusinsin)cos2()cos4(2)cos2(22222 222 22=uu yu2222222 2 + = uuuyu222222 )cos2()cos2()cos2( + +=uxuxuxyxu代入化简得 0)(322 = uuu5、做未知函数变换，使下列二阶方程化为不含
6、一阶导数的线性方程： （1）20;xxxyxyuuxuyuu+= 解：做未知函数变换()( , ),( , )x yu x yev x y=，后代入原方程，整理后使得一阶导数项的系数为零，得到方程，可解的21( , )(2)4x yyxy= （2）()()( , )0;xyxyua xyuuc x y u+= 解：同理（1）中做的变换，可算得21( , )()2x ya xy=。 第二章第二章 1、 （略）直接运用 DAlembert 公式进行验证即可。 2求解波动方程的初值问题 （1）220,0,( ,0)1,( ,0)cos .ttxxtua uxR tu xx u xx= +=解：直接利
7、用公式积分可得2221( , )1cos sinu x txa xxata= + （2） =xtuuxtxu tuttsin|, 0sin002222解：由非齐次方程初值问题解的公式得 ()0()11( , )sinsin22x ttxtx txtu x tdd d +=+ =+t dtxtxtxtx0)(cos()(cos(21)cos()cos(21 =+t dtxtx0)sin(sinsinsin =tttxtx0)sin()cos(sinsinsin+ =xtsin 即 xttxusin),(= 为所求的解。 （3） +=+=20022211|, 0|)1 (xuuxtxuautttx
8、xtt解： +=ttaxtaxatxatxdddatxu0)()(222)1 (11 21),(+=+atxatxatxarctgatxarctgd)()(112+ +=+t tax taxttaxtaxddd0)( )(2 0)()(22)1 (21)1 ( =+t dtaxtax022)(1)(121 = +xatxxatxduuauatxduuauatx )1 (21 )1 (212222=+atxatxxatxxatxudu at udu zatduuux a2222121121=2222)(1)(1ln41)()(2atxatx aatxarctgatxarctgax + +)()(
9、22atxarctgatxarctgarctgxat+ =)()(21)()(2122atxarctgatxaatxarctgatxa+ +222)(1)(1ln41 atxatx aarctgxat + 所以 )(1)(1ln212)()2()()2(41),(2222 3atxatxatarctgxatxarctgaatxatxarctgaatxatxu+=3、求解波动方程的古沙（Goursat）问题 2000,0.( ),( ).( (0)(0).ttxxx atxatua uxR tuxux=+=解：u(x，t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x=F（0）+
10、G（2x） 令 x+at=0 得 )(x=F（2x）+G(0) 所以 F(x)=)2(x-G(0). G（x）=)2(x-F(0). 且 F（0）+G(0)=).0()0(= 所以 u(x，t)=()2atx +)2(atx -).0( 即为古尔沙问题的解。 4、 求解定解问题 20000,(0,),0,( ),0,()0,(0).ttxxtttxtxua uxtux uukuk=+ = =解：由齐次波动方程的通解表达式：()( , )()u x tF xatG xat=+ 代入原方程中初始条件，可得 0( )( )( )tuF xG xx=+=（1） 0( )( )0.ttuaF xaG x
11、= +=（2） 0()()()()()0,(0)xtxukuFatG atkaFataG atx=+=， （3） 由（1） （2）得0011( )( ) ()()22F xxG xF x= 0011( )( ) ()()22G xxG xF x=+ 故当xat时， ()11( , )()()()22u x tF xatG xatxatxat=+=+ 当xat时，由（3）式对两边同时积分0xx，得（先做代换 at=x） 00(1) ()()( 1) ( )(),(0)akFxxak G xG xx+ = + ()()()()00000001( , )()()()()()()1 11111()()
12、()()()12222 111 2 12aku x tF xatG xatG atxG xFxG xatak akatxG xF xFxxatG xF xak akatxxatCak +=+=+ +=+ +=+其中00000111() ()() ()()22 1akCFxG xF xG xF xak +=+综上，可得方程的解为： ()()11()(),22( , )111,2 12xatxatxat u x takatxxatC xatak+= +其中00000111() ()() ()()22 1akCFxG xF xG xF xak +=+。 5、 求解下列波动方程的 Cauchy 问题
13、(1) ()()=+=+=0|02 02tttyyxxttuyxxuuuau解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得： ()()()()= matdd yxtatatyxu 2222, 21, ()()()+ matdd yxta 2222,()+ = 202220sin,cos 21rdrd rtaryrx taat又 ()() ()sincoscossin,cos2rryxrxryrx+=+ ()()()222coscos2ryxryxxyxx+= ()()cossincos2sincos22+xrrx ()sincoscos23+ r 因为 = 2022020cos, 0sin, 0cosddd . 0sincos, 0cos, 0cossin20220320= ddd 所以 () +at rdrd rtaryrx020222sin,cos()()+ +=atatrtadrryx rtardryxx002223222232 又
