二次根式经典答疑(一)

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1、第三章二次根式经典答疑（一 二次根式经典答疑（一 【学法旨要】【学法旨要】 1本章的学习目标是什么？本章的学习目标是什么？ (1)了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式与同类二次根式 (2)掌握积与商的算术平方根的性质： ).0, 0();0, 0(ba ba bababaab会利用这两个性质熟练地化简二次根式 (3)掌握二次根式的加、减、乘、除的运算法则，会用它们进行运算 (4)会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化 (5)掌握二次根式的性质 ),0(),0(|2 aaaaaa 会利用化简二次根式 学有余力的同学还应该达到以下目标：理解 n 次根式的概念及

2、其性质；会化简简单的双重根式；掌握比较两个或两个以上较复杂二次根式大小的特殊方法；能解决含有根式的较复杂的代数式的求值问题等 2学习本章有关键是什么？学习本章有关键是什么？ 正确理解与运用二次根式的概念与性质是学好本章的关键 二次根式与算术平方根有着密切的联系要充分理解二次根式的意义，必须弄清算术平方根的概念例如3是的算术平方根，也就是3)3(2推广到一般，可得)0()(2aaa要特别注意a这一限制条件，即二次根式的被开方数必须是非负数再者，)0( aa表示a的算术平方根，所以)0( aa也一定非负 二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础必须强调，积的算术平方根和商的算术平方根都是对算术

3、根而言的，并且要避免错误迁移运用公式|2aa可以把根号内非负因式外移反过来，利用公式2|aa 还可以把根号外非负因式内移这里必须明确，所内移或外移的必须是非负因式同时要注意，只有被开方数是积的形式时才能进行，要避免出现下面的错误：. 7916916916222【经点答疑】【经点答疑】 怎样理解二次根式的概念？怎样理解二次根式的概念？ 一般地，式子)0( aa叫做二次根式其中， “”叫二次根号，二次根号下的数a叫做被开方数 可以从以下两方面来理解这个概念： (1)二次根式)0( aa是指非负数a的算术平方根，因此)0( aa是一个非负数，即).0(0aa(2)二次根式)0( aa中被开方数a可以

4、是数也可以是代数式如果a是数，必须是非负数；如果a是代数式，则这个代数式的值必须是非负数因为负数没有平方根，所以当a0时，a没意义如有5，) 3(3, 12aam二次根式，而都是)3(3) 1(52aam，、就不是二次根式 例例 下列各式：223223)21(2122181641axxaxxa、，、 ，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 思路启迪：思路启迪： 判断一个式子是不是二次根式，首先看它是否含有根号；其次看根指数是不是 2；最后看被开方数是不是非负数若三个答案都是肯定的，那么这个式子是二次根式不满足三个条件中的任何一个，就不是二次根式 规范解法规范解法 23、2a、162都是二次根式，

5、因为它们都含有二次根号，且被开方数都是非负数 38虽然含有根号，但根指数不是 2，所以38不是二次根式 二次根式.x不含二次根号，不是211x、a中，不能确定被开方数是非负数，当a0 时，a无意义；当时，01x1x无意义，所以1x、a不一定是二次根式 不是二次根式.4没有意义，40，4中，4在不是二次根式.2x1无意义，2x10,2x)中，121(x2x1在,a2,a2,a,a2222没有意义总是负数为任何实数无论是中在22a不是二次根式 点评：点评：满足二次根式的条件有三个：含有根号根指数是 2被开方数是非负数，三个条件缺一不可 例例 2 x 是怎样的实数时，下列式子有意义？ ;34) 1

6、(x;53)2(xx;) 1() 3(2x. 31)4( xx思路启迪：思路启迪： 要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数对于(1)、 （2） 、(3)题只要使被开方数非负就可以了，对于(4)题不但要使被开方数非负，而且要使分母不等于零 规范解法规范解法 .34,34,.34, 034) 1 (有意义时当所以得由xxxx.53,53,. 53, 05, 03)2(有意义式子时当所以得由xxxxxx .) 1(,.) 1( ,)3(22总有意义取任何实数时当所以都是非负数为任何实数无论xxxx. 31,3. 3, 03, 01)4(有意义时所以当得由 xxxxxx2如何巧妙运用二次根式的非负

7、性解题？如何巧妙运用二次根式的非负性解题？ . 0,)0(aaaa所以的算术平方根表示非负数二次根式例例 ., 03422的值求已知babaa思路启迪：思路启迪： , 03, 04baa两个非负数的和等于零，则这两个数都等于零，从而得到, 03, 04baa再由零的算术平方根等于零求得a、b的值 规范解法规范解法 .160124ba.12b, 4a. 0ba3, 04a. 0ba3, 04a, 0ba3, 04a, 0ba34a2222 则解得且而点评点评 解此题的关键是：利用二次根式的非负性；根据几个非负数的和等于零，则这几个数都等于零，将问题转化为解方程组的问题 注注 初中阶段，课本中出现

8、的三种非负数已全部学完这三种负数是：实数的绝对值；实数的偶次方；非负数的算术平方根利用非负数的意义求值，是解代数式求值问题常用的方法之一 3怎样运用二次根式的性质怎样运用二次根式的性质)a(a)a(02？ 二次根式的基本性质),0()(2aaa是由非负数a的算术平方根的意义得到的利用)0()(2aaa，可以把二次根式化简如计算; 517725)7(5)75(222用反过来，利)0()(2aaa，如，可以把任何一个非负数或非负式子写成完全平方形式.)7(27 例例 1 计算： ;)5 . 1)(1 (2;)32)(2(2;)434)(3(2.)5()2()4(2 2).0()(2aaa利用公式思

9、路启迪：思路启迪： 规范解法规范解法 . 5 . 1)5 . 1)(1 (2. 632)32)(2(2.124316434)434)(3(22.2054)5()2()5()2222 22()4(例例 2 思路启迪：思路启迪： .962在实数范围内分解因式把aa43,)3(3.) 3(,96222224 aaaa所以因为可分解成是完全平方式式子仍可分解 规范解法规范解法 .)3()3()3()3(aa点评点评 )3(962222224aaaaa根据因式分解的意义，在实数范围内进行因式分解，其结果必须是几个整式的的积对于2)3( x，不能再分解成，.33),3)(3(4444和因为xxx不是整式x

10、商的算术平方根有什么性质？商的算术平方根有什么性质？ 根据算术平方根的概念可以得到如下性质： (1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积即 4积与积与);0, 0(babaab(2)商的算术平方根等于被除式的算术平方根，除以除式的算术平方根即 ).0, 0(ba bb因为二次根式aa)0( aa就是a的算术平方根的表示式，所以上述算术平方根的两个性质就是二次根式的性质 这两个性质依赖于0, 0aa这两个非负性 因此在应用性质时，一定要注意：32 32;32)3()2( 因为在以上两式中，32、没有意义根据二次根式的性质，以上两式的正确写法是： .222333;3232)3)(2(另外

11、，公式中 a、b 既可以表示数，也可以表示代数式，但都必须是非负数 积的算术平方根的性质，还可以推广到多个非负数的情况如 ).0, 0, 0, 0(dcbadcbaabcd注注 由积与商的算术平方根，有的同学可能会自己类比推得和与差的算术平方根：).0)(0();0, 0(babababababa如但这些等式都不成立的例时3, 2ba.146. 3732. 1414. 132,236. 2532baba一般地，.;babababa5积的算术平方根的性质有哪些应用？积的算术平方根的性质有哪些应用？ (1)化简二次根式 平方根的性质和公式如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，

12、可以利用积的算术),0(2aaa将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简 例例 1 化简： ;2000) 1 (;312313)2(22;8)3(543cba;813421615)4(.)5(224yxx若被开方数是积的形式，把能开得尽的方的因数或因式开出来；若被开方数不是积的形式，应先化成积的形式，再把可以开得尽方的因式开出来 规范解法规范解法 思路启迪：思路启迪：. 5205210521052102000) 1 (2222.2516251625)312313()312313(312313)2(22.22b228) 3(22222222543accabcccbaacba.27 914

13、49 81196 1681 81196 1681 813421615)4(.)()5(22222222224x点评点评 解此题主要利用积的算yxxyxxyxxyx术平方根的性质因此，化简时就先把被开方数化成几.22yxyx个整式积的形式这里应注意： 规定 (2)二次根式的乘法运算 注注 现行教材规定，在本章中没有特别说明，所有字母都表示正数，这里也有同样的0).b0,(aabba0)反过来，得b0,(abaab把这就是说，二次根式相乘，等于被开方数相乘，根指数不变 例例 2 计算： ;515) 1 (;6622)2(;3858327) 3();18(24)4(3xx.12 5思路启迪：思路启迪

14、： 利用136)5(2 22 baba)0ba, 0( baab被时进行因式分解或因数分解如果时，应考虑开方数相乘515 直接可得352而不要先写成75再分解 规范解法规范解法 . 5555515) 1 (2. 324321262626622)2(2. 24135323856338526333858327) 3(.x3123x2x6x2x6x32x2x3x62)x18(x24)4(23.ba536ba656b1baa2356 ba12ba3516ba12 51ba36)5(22222222 222 222ba5362ba5注注 根号前的因数是带分数时，必须化成假分数.如，不能写成17点评点评 二次根式的乘法运算就是利用公式 )0, 0(babaab进行的，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘 )a(a02有哪些方面的应用？有哪些方面的应用？ a6公式公式)0b, 0a (abba)0a (aa2及公式运用公式，可将根号外面的非负因式移到根号里面 例例 1 把根号外面的因式移到根号里面： ;34) 1 (;21)2)(2(aa.)3(xx 思路启迪： 因式内移，是把根号外面的非