《小学奥数经典专题点拨约数与倍数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数经典专题点拨约数与倍数（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、约数与倍数 【约数问题】 约数与倍数 【约数问题】 例 1 用 1 1 5 5 个同样大小的正方形拼成一个长方形，有_ _ _ _ _ _ 种不同 的拼法。（上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是 1 1 5 5 。 而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将 1 1 5 5 分成两个整数的 积，看看有多少种方法。一般来说，约数都是成对地出现。 1 1 5 5 的约数共有 1 6 个。 1 6 2 = 8 （对）。 所以，有 8 种不同的拼法。 例 2 说明：3 6 0 这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？ （全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：
2、将 3 6 0 分解质因数，得 3 6 0 = 2 2 2 3 3 5 = 23325 。 所以，3 6 0 的约数个数是：（3 + 1 ）（2 + 1 ）（1 + 1 ）= 2 4 （个） 这 2 4 个约数的和是： 例 3 一个数是 5 个 2 ，3 个 3 ，2 个 5 ，1 个 7 的连乘积。这个数当然 有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？ （全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：这个数是 2 2 2 2 2 3 3 3 5 5 7 。 把两位数从 9 9 、9 8 、开始，逐一进行分解： 9 9 = 3 3 1 1 ； 9 8 = 2 7 7 ； 9 7 是质数；
3、 9 6 = 2 2 2 2 2 3 。 发现，9 6 是上面数的约数。 所以，两位数的约数中，最大的是 9 6 。 例 4 有 8 个不同约数的自然数中，最小的一个是_ _ _ _ _ _ 。 （北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：一个自然数 N ，当分解质因数为： 因为 8 = 1 8 = 2 4 = 2 2 2 ， 所以，所求自然数分解质因数，可能为： 27，或 233 ，或 2 3 5 ， 不难得出，最小的一个是 2 4 。 【倍数问题】 【倍数问题】 例 1 6 枚 1 分硬币叠在一起与 5 枚 2 分硬币一样高，6 枚 2 分硬币叠 在一起与 5 枚 5 分硬币一样高，
4、如果分别用 1 分、2 分、5 分硬币叠成的 三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为 4 元 4 角 2 分，那么这三种硬币总 共有_ _ _ _ _ _ 枚。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：因为 6 枚 1 分的硬币与 5 枚 2 分的一样高，所以 3 6 枚 1 分的 硬币与 3 0 枚 2 分的一样高。 6 枚 2 分的硬币与 5 枚 5 分的一样高，所以 3 0 枚 2 分的硬币与 2 5 枚 5 分的一样高。 因此，3 6 枚 1 分的硬币高度等于 3 0 枚 2 分的高度，也等于 2 5 枚 5 分的高度。它们共有： 1 3 6 + 2 3 0 + 5 2 5 = 2 2 1
5、 （分）。 4 元 4 角 2 分= 4 4 2 （分），4 4 2 2 2 1 = 2 。 所以，1 分的硬币共 3 6 2 = 7 2 （枚），2 分的硬币共 3 0 2 = 6 0 （枚）， 5 分的硬币共 2 5 2 = 5 0 （枚），即总共有 1 8 2 枚。 例 2 从 1 、2 、1 1 、1 2 中至多能选出_ _ _ _ _ _ 个数，使得在选出 的数中，每一个数都不是另一个数的 2 倍。 （1 9 9 0 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：1 、3 、5 、7 、9 、1 1 是奇数，不可能是任何整数的 2 倍。剩下 的数有 2 、4 、6 、8 、1 0 、1 2
6、 六个数，且 6 是 3 的 2 倍，1 0 是 5 的 2 倍。 如取 2 ，则 4 、8 、1 2 就都不能取；如取 4 ，则 2 、8 不能取，故只可取 1 2 ； 如取 8 ，则 2 、4 不能取，故只可取 8 。所以至多能选取 8 个数。 例 3 小明的两个衣服口袋中各有 1 3 张卡片， 每张卡片上分别写着 1 、 2 、3 、1 3 。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数 的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被 6 整除的乘积共有 _ _ _ _ _ _ 个。 （北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：因为 6 = 2 3 ，所以能被 6 整除的因
7、数中，至少含有一个 2 和 一个 3 。 当一边取 6 ，另一边取 1 、2 、1 3 时均成立，有 1 3 个积； 当一边取 7 、8 、9 、1 0 、1 1 、1 2 、1 3 ，另一边取 1 2 时，有 7 个积； 当一边取 1 0 ，另一边取 9 时，有 1 个积。 所以，不相等的乘积中，被 6 整除的共有： 1 3 + 7 + 1 = 2 1 （个）。 例 4 设 a 与 b 是两个不相等的自然数。 如果它们的最小公倍数是 7 2 ， 那么 a 与 b 之和可以有_ _ _ _ _ _ 种不同的值。 （北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：因为 7 2 = 2332，它共有约数 （3 + 1 ）（2 + 1 ）= 1 2 （个） 这 1 2 个约数，每个约数与 7 2 的最小公倍数都是 7 2 ，a 、b 之和有 1 2 种不同的值； 当 a = 2232= 3 6 时，b 可取 23= 8 或 233 = 2 4 ，a 、b 之和有 2 种不同的 值； 当 a = 233 = 2 4 时，b 可取 32= 9 或 2 32= 1 8 ，a 、b 之和有 2 种不同的 值。 当 a = 2 32= 1 8 时；b 可取 23= 8 ，a 、b 之和有 1 种不同的值。 所以，满足条件的 a 与 b 之和共有 1 7 种不同的值。
