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1、3.3.2简单的线性规划问题xyo2新课探究某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件 乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配 件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计 算，该厂所有可能的日生产安排是什么？解：按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条 件可得二元一次不等式组将上述不等式组表示成平面上的区域yx4843o若生产一件甲产品获利2万元，生产 一件乙产品获利3万元，采用那种生产 安排利润最大？设工厂获得的利润为z，则z2x3y把z2x3y变形为它表示斜率为 的直 线系，z与这条直线的 截距有关。如图可见，当直线
2、经过区域上的点M时，截距最大 ，即z最大。M甲、乙两种产品分别生产x、y件二、基本概念yx4843o把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为 它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。满足线性约束的解（x，y）叫做可行解。在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 问题，统称为线性规划问题。一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条 件。由所有可行解组成的 集合叫做可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 这个问题的最优解。可行域可行解最优解解:按甲、乙两种产品分别生产x、y件，目标函数为Z,那么：约束条件为目标函数为作出上述约束条件所表示的 可行域如下：yx48
3、oM将 变形为这是斜率为 ，随z变化的平行直线系， 是 直线在Y轴上的截距，当 最大时，z取得最大值。所以直线 与可行域相交且在Y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值。N由图可见，当 直线 经过可行域上的N点时 最 大，即 最大。解方程组 得N点的坐标为（2，3）。所以一、线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题 中得到应用，一是在人力、物力、资资金等资资源一定的条件下， 如何使用它们们来完成最多的任务务； 二是给给定一项项任务务，如何合理安排和规规划，能以最少的人力、 物力、资资金等资资源来完成该项该项 任务务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用： 二、例题 例5、营
4、养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有 0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪， 花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求， 同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg ？分析：将已知数据列成表格食物kg碳水化合物kg蛋白质/kg脂肪kg A0.1050.070.14 B0.1050.140.07解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z ，那么目标函数为：z
5、28x21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域1、找把目标函数z28x21y 变形为xyo/ 575/76/73/73/76/7它表示斜率为 纵截 距随z变化的一组平行 直线是直线在y轴上 的截距，当截距最 小时，z的值最小。M如图可见，当直线z 28x21y 经过可行 域上的点M时，纵截距 最小，即z最小。2、画3、移M点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmin28x21y16由此可知，每天食用食物A143g，食物B约 571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低 ，最低成本为16元。4、求5、答12解线性规划问题的步骤： （1）2、画：画出线性约束条件所表示的可行
6、域； （2）3、移：在线性目标函数所表示的一组平行线中 ，利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； （3）4、求：通过解方程组求出最优解； （4）5、答：作出答案。 1、找找出线性约束条件、目标函数； 某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A、B、C三种规格， 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张， 钢板总张数为Z则,规格类型 钢板类型第一种钢板第二种钢板A规格B规格C规格2121312x+y15, x+2y18, x+3y27, x0 y0 某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，若你是 经理,问各
7、截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张 数最少。 分 析 问 题 :例题6标目函数: z=x+yx0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18, x+3y27, x0, y0直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 作出直线L:x+y=0，目标函数:z= x+yB(3,9) C(4,8)A(3.6,7.8 )当直线L经过点A时z=x+y=11.4,x+y=12解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)2 4 6181282724681015但它不是最优整数解.作直线x+y=12约束条件:画可行域平移L找交点及交
8、点坐标调整优解法x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18, x+3y27, x0, xN* y0 yN*经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是 x+y=12，它们是最优解.作出一组平行直线t = x+y，目标函数t = x+yB(3,9) C(4,8) A(18/5,39/5)打网格线法在可行域内打出网格线，当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解， 将直线x+y=11.4继续向上平移，1212 182715978即先求非整数条件下的最优解，调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小）的整点值，最后
9、筛选出整点最优解即先打网格，描出可行域内的整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解线性规划求最优整数解的一般方法:1.平移找解法：2.调整优解法：小结：例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料 各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo解：设生产甲
10、种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产 生利润Z万元。目标函数为Zx0.5y，可行域如图 ：把Zx0.5y变形为y2x2z，它表示斜率为 2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。 xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时， 截距2z最大，即z最大。 故生产甲种、乙种肥料各 2车皮，能够产生最大利润， 最大利润为3万元。M容易求得M点的坐标为 （2，2），则Zmax3例7 在上一节例4（P85）中，若生产1车皮甲种肥料，产生的 利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元， 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大利润？解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够
11、产生利润 Z万元。目标函数为：可行域如图。把z=x+0.5y变形为得到斜率为-2，在y轴上的截距为2z, 随z变化的一族平行直线。xy0M由图可以看出，当直线y=-2x+2z经过 可行域上的点M时，截距2z最大，即 Z最大。xy0M解方程组得M的坐标为（2，2）所以答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够 产生最大利润，最大利润为3万元。练习：P91 T2即先求非整数条件下的最优解，调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小）的整点值，最后筛选出整点最优解即先打网格，描出可行域内的整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解线性规划求最优整数解的一般方法:1.平移找解法：2.调整优
12、解法：小结：例8、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。 对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格 （以班级为单位）分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若 根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元 ，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中班和 高中班多少个？每年收费的学费总额最多？学段班级级学生数配备备教师师 数初中45226班2人高中40354班2人把上面四个不等式合在一起， 得到yx2030402030o另外，开设的班级不能为负，则x0，y0。而由于资金限制，26x54y22x23y1200 解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以 2030个班为宜，所以
13、， 20xy30yx2030402030o由图可以看出，当直 线Z7.2x10.8y经过 可行域上的点M时，截 距最大，即Z最大。设收取的学费总额为Z万元，则目标函数Z0.1645x0.2740y7.2x10.8y。Z7.2x10.8y变形为它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关 。M易求得M（20，10），则 Zmax 7.2x10.8y 252故开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最 多，为252万元。咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖 3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g已知每天原料的 使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖300
14、0g,如果甲种饮料每 杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使 用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获 利最大？ 解：将已知数据列为下表：3原 料每配制1杯饮料消耗的原料奶粉(g)咖啡(g)糖(g)甲种饮料乙种饮料943451.2原 料限 额360020003000利 润(元)0.71.2xy设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则 目标函数为：z =0.7x +1.2y巩固练习一解:设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则把直线l向右上方平移至l1的位置时， 直线经过可行域上的点C，且与原点距 离最大， 此时z =0.7x +1.2y取最大值 解方程组
15、 得点C的坐标为（200，240）_0_ 9 x + 4 y = 3600_ C (200,240)_ 4 x + 5 y = 2000_ 3 x + 10 y = 3000_ 7 x + 12 y = 0_ 400_ 400_ 300_ 500_ 1000_ 900_ 0_ x_ y目标函数为：z =0.7x +1.2y答:每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯可获取最大利润. 小结作出可行域： 目标函数为：z =0.7x +1.2y 作直线l:0.7x+1.2y=0，巩固练习二某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为 3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工 ，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两 种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产 可使收入最大？设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收 入为z，目标函数为Z3x2y，满足的条件是Z 3x2y 变形为它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。XYO400200250500当直线经过点M时，截距最大，Z最大 。M解方程组可得M（200，100）Z 的最大值Z 3x2y800故生产甲产品200件 ，乙产品100件，收
