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1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、对面积的曲面积分的概念与性质引例: 设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想, 采用可得求质 “分割作近似，求和取极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 最大值目录 上页 下页 返回 结束 定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” 都存在,的曲面积分其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为f (x, y, z) 是定义在 上
2、的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.目录 上页 下页 返回 结束 则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.则有 线性性质.在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面目录 上页 下页 返回 结束 定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明: 由定义知目录 上页 下页 返回 结束 而(一致连续)目录 上页 下页 返回 结束 说
3、明:可有类似的公式.如果曲面方程为目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算曲面积分其中 是球面被平面截出的顶部.解:目录 上页 下页 返回 结束 思考:若 是球面被平行平面 z =h 截出的上下两部分, 则目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设上的部分, 则与原式 = 分别表示 在平面 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算其中 是介于平面之间的圆柱面分析: 若将曲面分为前后(或左右)则解: 取曲面面积元素两片, 则可以计算，如何算？目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 定义:2. 计算: 设则(曲面的其他两种情况类似)目录 上页 下页 返回 结束 思考题： 限中的部分, 则有( ).( 2000 考研 )
