二重积分的计算

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1、教教 案案 二重积分的计算二重积分的计算 教学内容教学内容 二重积分的计算是多元积分学的基本技术，也是多重积分以及曲面积分的计 算的基础，是微积分的重要工具之一。在这节中主要讲解以下几方面的内容： （1） 直角坐标系下二重积分的计算； （2） 二重积分的变量代换法； （3） 极坐标系下二重积分的计算。 教学思路和要求教学思路和要求 （1）计算重积分的基本思路是将重积分化为累次积分，通过逐次计算定积 分， 求得重积分的值。 讨论二重积分的计算， 其途径即是化二重积分为二次积分。 通过“已知平行截面面积，求空间区域体积”的背景，引入二重积分化为二次积 分来计算的方法，可以给学生一个直观上的认识。

2、（2）回忆定积分换元法的思想，可以对二重积分换元法则加深理解。注意指 出作变量代换后面积元素的比例系数是 Jacobi 行列式的绝对值。 （3）从直角坐标到极坐标的变量代换是二重积分计算中十分常见的代换。当 区域边界或被积函数易于用极坐标表示时，采用极坐标往往能带来很大的便利。 因此这部分的内容还是要重点强调。 （4）有必要向学生介绍实例计算时的思考方法，引导他们提高计算能力。 教学安排教学安排 一直角坐标系下二重积分的计算 首先，假设区域可表示为 ),()(| ),(21bxaxyxyx。 我们将根据二重积分的几何意义把 fd 化为二次积分。为此，暂且假设0f。 由上一节可知，fd的值等于以

3、为底，以曲面),(yxfz 为顶的 曲顶柱体的体积 V（图 8.2.1） ，这个 体积实际上还可以用一元函数积分 学中“已知平行截面面积，求空间区 域体积”的方法来求得。为此，我们 固定,bax，过)0, 0,(x且平行于 Oyz的平面截曲顶柱体得到的截面 是该平面上一个以区间)(),(21xx 为下底，),(yxfz 为曲边的一个曲 边梯形，所以这个截面面积为 )()(21),()(xxdyyxfxA。 a x b x y z z=f(x,y) 图 8.2.1 利用平行截面面积)(xA计算原曲顶柱体体积，即得 dxdyyxfdxxAVbaxxba )()(21),()(。 这个体积正是所求的

4、二重积分的值，即 fddxdyyxfbaxx )()(21),(。 上式右端的积分称为先对y后对x的二次积分。即是先固定x，以y为积分 变量， 在积分区间)(),(21xx 上计算),(yxf的定积分， 其积分值作为x的函数， 再对x在区间,ba上计算定积分。这个二次积分通常记作 )()(21),(xxbadyyxfdx。 以上讨论中假设0f只是为了便于作几何解释，实际上对区域上任意的 可积函数f，均有 fd)()(21),(xxbadyyxfdx。 同样地，如果区域表示为 ),()(| ),(21dycyxyyx， 则f在上的二重积分可以用先对x后对y的二次积分作计算： fd)()(21),

5、(yydcdxyxfdy。 根据以上讨论，二重积分的计算可以归结为逐次计算两个一元函数的定积 分，因而就计算本身而言，并无新的困难。然而关于区域的恰当表示，还须作 两点补充说明： 其一，当区域不能表示为形如),()(| ),(21bxaxyxyx或 ),()(| ),(21dycyxyyx的“标准区域”时，可用平行于坐标轴的线 段把剖分为几个上述形式的“标准区域”的并，利用积分关于区域的可加性， 分别计算出相应的积分再求和即可。 其二，二重积分表示为二次积分往往可取两种顺序，但是，按不同的顺序， 计算难易未必一致。为此，须根据具体情况决定应采用的顺序。 此外，在直角坐标系下，通常用dxdy表示

6、面积元素，它相当于中小矩形 区域,dyyydxxx的面积。 例 设是由直线xy 和抛物线2xy 所围成的区域，计算积分 dxdyyx)2(。 解 区域可表为 10 ,| ),(2xxyxyx。 x y y=x y=x2 O y=x x y x=y O 图 8.2.2 把原积分化为先对y再对x的积分，得 xxdyyxdxdxdyyx2)2()2(106011)274(2110432dxxxxx。 为把原积分化为先对x再对y的积分，可把区域表示为 10,| ),(yyxyyx， 这样， 10)2()2(yydxyxdydxdyyx。 例 设是以)0, 0(，) 1, 0(，)0, 1 (为顶点的三

7、角形区域（图 8.2.3） ，求dxdyey2。 解 把原积分化为先对x再对y的积分，则有 dxdyey2yydxedy 0102 edyyey1121102。 注意， 如果把原积分化为先对y后对x的积分， 则 得到 dxdyey21102xydyedx， 那就难以求积了。 例求由马鞍面xyz 和平面 0, 0, 1,yxyxyxz所围成的空间区域的 体积（图 8.2.4） 。 解 如图 8.2.4，由二重积分的几何意义， 所求体积为 dxdyxyyxV)(， 其中10 ,10| ),(xxyyx。所以 xdyxyyxdxV1010)( 247)1 (21)1 ()1 (102 dxxxxx。

8、 例 求椭圆柱面1422 yx与平面yz1及0z 所围成的空间区域的体积V（图 8.2.5） 。 解 记是Oxy平面上椭圆224yx1 所围成的区 域，于是 dyV)1 (。 因为关于x轴对称，所以 0yd。 (1,1) x O y 图 8.2.3 x y O z 图 8.2.4 z x y 图 8.2.5 这样， dV。上式右端即区域的面积，注意到 的边界是两半轴分别为21和 1 的椭圆，其面积为2121，故 2V。 二二重积分的变量代换法 在定积分计算中，换元法是一种常用的手段。熟知定积分的换元公式为 dtttfdxxfba)()()(， 其中)(a，)(b。通过变换函数)(tx，化被积函

9、数成为易于积分的 形式。二重积分的换元则是从原变量),(yx到新变量),(vu的一个变换映射，其换 元法则的形式叙述为以下定理。 定理 8.2.1 设f是Oxy平面中闭区域上的连续函数，变换 ),(),(:vuyyvuxx把Ouv平面上的闭区域一对一地映射为区域，而且 （1）),(),(vuyvux在上具有连续一阶偏导数； （2）在上的 Jacobi 行列式 0),(),(vuDyxD， 则有 dxdyyxf),(dudvvuDyxDvuyvuxf|),(),(|),(),(。 为节约篇幅，以下只给出证明大意。在Ouv平面上用平行于坐标轴的直线网 格分割为若干小区域。除包含边界点的小区域外，其

10、余均为小矩形。任取一 个这样的小矩形， 设其四个项点分别为),(1vuP，),(2vuuP，),(3vvuP， ),(4vvuuP。经过映射，它变换为Oxy平面上区域内的一个曲边四边 形，所对应的四个顶点分别记为4321,PPPP。 当u和v充分小时，的面积近似等于以 PP1和31PP为邻边构成的平行四边形的面积，即 |3121PPPP。 由计算可得 ji),(),(),(),(21 vuyvuuyvuxvuuxPPjiuvuuyuvuux),(),(。 同理可得 jivvuvyvvuvxPP),(),(31。 所以 O u v y O x v v+v uu u 图 8.2.6 003121

11、vyvxuyuxPPPPvvuu kjikvuvuDyxD),(),(， 从而 vuvuDyxD),(),(。 因此，二重积分作变量代换后面积元素的关系为 dudvvuDyxDd),(),(， 从而 dudvvuDyxDvuyvuxfdyxf),(),(),(),(),(。 例 设0 pq，0 ab，求由抛物线pxy 2，qxy 2与双曲线axy， bxy所围成的平面区域的面积(图 8.2.7)。 解 作变量代换 .,2bvaxyvqupxyu因为 032),(),(222xyxyxy xyyxDvuD（0, 0yx） ， 所以上述映射),(),(vuyx是可逆的，其逆映射 ),(),( vu

12、yyvuxx的 Jacobi 行列式 uyx yxDvuD vuDyxD 31 3),(),( ),(),(21 。 这样，Oxy平面上区域对应于Ouv平面上矩形区域 y O x xy=a xy=b y2=px y2=qx u v b a O p q 图 8.2.7 ,| ),(bvaqupvu。 从而区域的面积为 dudvududvvuDyxDdA31 ),(),( =pqab ududvqpbaln33。 三极坐标系下二重积分的计算 从直角坐标到极坐标的变量代换是二重积分计算中十分常见的代换。 当区域 边界或被积函数易于用极坐标表示时，采用极坐标往往能带来很大的便利。 由直角坐标和极坐标的

13、关系 sin,cos ryrx得 rrrrDyxDcossinsincos),(),(。 设函数f定义于Oxy平面上的闭区域，是 由在极坐标下满足)()(21rrr（）的 点组成。记 ),()(| ),(21rrrr， 于是 dyxf),(rdrdrrf)sin,cos( )()(21)sin,cos(rrrdrrrfd。 例 计算二重积分 dxdyeayxyx 22222)(。 解 显然，在极坐标下，积分区域可表示为 20,0| ),(arr。 于是，作极坐标代换后即得 dxdyeayxyx 22222)(drredar 0202 )1 (2122200aa rede。 例 设)0,)( | ),(22222xyxyxyx，计算二重积分 222)1 (yxdxdy。 解 用 极 坐 标cosrx ，sinry 代 入22222)(yxyx， 即 得r2c os2。这样，原积分区域在极坐标下对应于 44,2cos0| ),(rr。 利用被积函数和积分区域的对称性，即得 222)1 (yxdxdy= 2cos0224 0)1 (2rrdrd 2cos024 0)1 (tdtd 4 024 0cos2112cos111dd21 4。 例 求椭球体1222222 cz by ax的体积。 解 上半椭球面的方程为 2222 1by axcz。 由椭球体关于三个坐