《函数解析式和值域的常用解法和例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数解析式和值域的常用解法和例题（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 5 页 解析式和值域的常用解法和例题解析式和值域的常用解法和例题 1.1.求求解析式解析式的几种常用方法的几种常用方法 （1 1）换元换元法法：注意新元的取值范围。 【例 1】已知(1)2fxxx，求( )f x 解：令1tx，则1t ，且1xt ，2(1)xt，22( )(1)2(1)1f tttt 2( )1 (1)f xxx. 【例 2】设f(x1)=3x1,求f(x) 解：令1xt ，则1xt ， ( )3(1) 132f ttt ，则( )32f xx （2 2）待定系数待定系数法法：已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等。 【例 1】已知( )f x是一次函数
2、，且满足3 (1)2 (1)217f xf xx，求( )f x 解：设( )(0)f xaxb a，由3 (1)2 (1)217f xf xx得： 3 (1)2 (1)217a xba xbx， 5217axabx 2 517a ab，解得：27ab ， ( )27f xx 【例 2】设二次函数( )f x满足f(x+2)=f(2-x)，且方程( )0f x 的两实根的平方和为 10， )(xf的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式. 解：设2( )(0)f xaxbxc a f(x+2)=f(2-x)，( )f x的图像有对称轴2x， 22b a,4ba )(xf的图象过点(0,3)，
3、3c， 2( )43 (0)f xaxaxa 设方程2430axax的两根为12,xx，则：121243xxx xa， 再由22 1210xx， 得：2 1212()210xxx x， 234210a ，解得：1a。 2( )43f xxx （3 3）整体代换（配凑整体代换（配凑法法） 【例 1】若221)1(xxxxf，则函数( )f x 222 2111()()2( )=2f xxxf xxxxx解：， 【例 2】已知2(1)34f xxx,求f(x) 222(1)34(1)5(1)8( )58f xxxxxf xxx解： ， 第 2 页 共 5 页 （4 4）构照方程组：构照方程组：如自
4、变量互为倒数、相反数，已知)(xf为奇函数且)(xg为偶函数等。 【例 1】已知( )3 ()21f xfxx，求( )f x. 解：12)(3)(xxfxf 把中的x换成x得：()3 ( )21fxf xx 由解得：1( )4f xx 【例 2】112 ( )( )( )|f xff xxx已知， 求 112 ( )( ) |112 ( )( )| |2( )+.33|xff xxxxf xfxx xf xx解：把式中 换成，得到已知，联立得：【例 3】已知( )f x是偶函数，( )g x是奇函数，若1( )( )1f xg xx，求( )f x的解析式 解：由( )f x是偶函数，( )
5、g x是奇函数，可得1()()( )( )1fxgxf xg xx ， 联立11)()(xxgxf，得：21111( )()1211f xxxx ， 11)(2xxf 2.2.求值域的几种常用方法求值域的几种常用方法 （1 1） 配方法配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法。 【例 1】242 (14)yxxx 2 maxmin(2)2142242 2, 2yxxxyxy 解：， 当时，当时，所给函数的值域为【例 2】4cos2sin2xxy22maxmin(1 cos)2cos4(cos1)21cos1cos16cos122, 6yxxxxxyxy 解：， 当时，当时，。 值域
6、为（2 2）基本函数法）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数 ) 32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。 第 3 页 共 5 页 【例 1】2432yxx 24(1)4yx 解： 20(1)44x ， 20(1)42x224(1)44x所给函数的值域为2，4。 【例 2】35yxx 303550xxx 解：由得，函数定义域为3,5 2222 (3)(5)22 1 (4)yxxx又当4x时，2 max4y，当35x 或时，2 min2y 224y， 0y ， 22y 所给 2 , 2函数的值域为 （3 3）判别式法）判别
7、式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。【例 1】221 223xxyxx解：由已知得：2(21)(21)(31)0yxyxy（*） 当210y 时，1 2y ，代入（*）式，不成立，1 2y 当210y 时，则： 211312231102(21)4(21)(31)0102yyy yyyy 所给函数的值域为31,)102 【例 2】221 22xyxx解：由已知得012) 1(22yxyyx， 若0y，则得21x，所以0y是函数值域中的一个值； 若0y，则由0) 12(4)1(22yyy得02133 2133yy且， 故所求值域是2133,2133。 第 4 页 共 5 页 （4 4）分离常数
8、法）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。【例 1】21 3xyx55202(,2)(2,).33yyxx解：， ， ，即所求值域为 【例 2】2cos3 cos1xyx2cos3555=2cos1(0,2(,cos1cos1cos12 1(,.2xyxxxx 解：， ， 所以值域为（5 5）换元法：换元法：特别是无理函数。 【例 1】12yxx 解：令12xt(0t )，则 x=212t 21 2tyt21(1)12t，当1t 时，max1y 所给函数的值域为(,1. 【例 2】已知( )f x的值域是34 ,89，试求函数( )( )12 ( )yg xf xf x的值域 解： 34(
9、 )89f x，1112 ( )94f x 111 2 ( )32f x 令111 2 ( )()32f xtt ，则21( )(1)2f xt 2211(1)(1)122yttt minmax1717 3928tyty当时，当时，。 7 7( ),9 8g x 的值域为。 （6 6）利用基本不等式求值域）利用基本不等式求值域：尤其注意形如)0( kxkxy型函数。【例 1】24813,(1)6(1)xxyxx 24(1)923(1)26(1)32(1)xyxxx解：当且仅当123(1)32(1)xxx 即1 2x 时取等号又函数无最大值，故函数值域为2,) 第 5 页 共 5 页 【例 2】
10、23 4xyx200;430,4(0, 3340=44340,4,0)4 3 34 4xyxxyxxxyxxxxyxx 解：当时，若则 当时， 若则 综上，所求值域是， 。（7 7）利用函数的单调性求求值域）利用函数的单调性求求值域：特别是高次函数用导数法。【例 1】1,(12)yxxx minmax1301 10222 30, .2xyyy 解：易知当时， 是单调增的， ，即所求值域为（8 8）反函数法反函数法 【例 1】221 1xyx2 2 21101111xyyxyxy 解：由得：，解得： 【例 2】2sin 2sinxyx解：由xxysin2sin2 解得：22sin1yxy，由|sin | 1x 得22| 11y y两边平方后整理，得：231030yy，解得：133x， 故所给函数的值域为1 , 33 （9 9）数形结合数形结合法法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法） 。 【例 1】求函数13yxx 的值域 解：作出函数的图象如图，得值域为 4, 4。
