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1、論數學解題教學的現代理論基礎喻平教學理論的演變受制於社會的發展, 本文不去辨析對教學理論產生影響的複雜因素, 只從數學觀的變革和現代學習心理學的發展去梳理解題教學觀的演化, 並對數學解題學習的本質作出剖析, 從而搭建現代意義下的數學解題教學理論。1. 數學觀演變的啟示傳統上, 數學知識一直被人們視為真理。 自 Euclid 在 2500 年前建立了以 幾何原本 為典範的數學邏輯結構體系以來, 直到 19 世紀末此結構都作為真理和可靠性建立的範式。 New-ton 和 Spinoza 等人在自己的著作中也採用過 原本 的形式, 以加強他們對真理系統闡述的力度。 由此長期的積澱, 形成了絕對主義數
2、學觀, 即認為數學由確定無誤的真理構成, 代表著可靠知識的絕對真理。 這種觀念持續到 20 世紀初, 然而, 在這一期間許多悖論的出現, 使得無法用數學基礎作出解釋, 從而對絕對主義觀產生了強大衝擊, 特別是集合論和函數論中出現的矛盾, 對絕對主義產生了致命的威脅。 為了維繫絕對主義的數學哲學, 歷史上相繼產生了邏輯主義、 形式主義和構造主義三個數學哲學流派。 邏輯主義企圖把數學的可靠性轉化為邏輯的可靠性, 利用邏輯的可靠性去確立數學的可靠性, 但是遇到的麻煩是: 數學必須要用到非邏輯公理 (如無窮公理和選擇公理), 也就是說, 不是所有數學定理都能單純地從邏輯公理導出, 因而,邏輯不能為數學
3、知識提供可靠基礎。 形式主義旨在把數學轉化為不予解釋的形式系統, 通過導出所有數學真理的形式的對應物, 並通過相容性證明去解釋該形式系統對數學是可靠的。 但是,G odel (1931) 的不完全性理論證明了這是一個無法實現的綱領。 構造主義認為, 數學真理的存在性必須由構造方法去確定, 數學知識必須通過基於構造主義邏輯的構造性證明加以建立。 構造主義同樣不能為數學真理的絕對性提供依據, 因為它不僅無法解釋非構造性經典數學的實質,而且否認它的有效性。 事實上, 構造主義既沒有證實經典數學所面臨的無法迴避的問題, 也沒有說明經典數學的非協調性和非真實性。數學哲學的三大思想流派未能證實數學知識的可
4、靠性, 使得人們從問題的反面去思索, 逐步形成 “可誤主義” 觀。 包括 Lakatos、 Russell、 Fraenkel、 Weyl、 G odel 等一大批數學家和60論數學解題教學的現代理論基礎61數學哲學家形成共識, 認為數學知識是不絕對真理, 它沒有絕對有效性, 數學真理是可誤的且可糾正的。 後來, Lakatos (1976) 建立了擬經驗主義, 使可誤主義得到進一步發展。 擬經驗主義的主要觀點: (1) 數學知識是可誤的; (2) 數學是假設演繹的。 即公理化不能真正表示非形式理論; (3) 歷史是核心。 數學哲學認識論的任務在於解釋已存在的數學理論; (4) 非形式數學的首
5、要性, 因為形式數學是形式化後的東西, 所以非形式數學是一切形式數學的根源; (5) 數學知識是在證明與反駁的辯證迴圈中創造的。以約定主義和擬定主義為基礎, Ernest (1991) 提出了社會建構主義的數學哲學。 社會建構主義將數學視作社會的建構, 它吸取約定主義的思想, 承認人類知識、 規則和約定對數學真理的確定和判定起著關鍵作用。 同時, 它又吸取擬經驗主義的觀點, 認為數學知識是不斷發展的變化的, 是可誤的, 數學理論在證明與反駁中得到發展。 社會建構主義的核心是數學知識的生成,Ernest (1991) 提出了知識產生的基本假說: (1) 個體學到的是通過個人建構的主觀知識; (2
6、)發表成果是主觀數學知識變成客觀知識所必要的; (3) 發表的數學知識經歷 Lakatos 所說的啟發式過程成為客觀知識。 Lakatos 所說的啟發式過程是指, 發表的數學知識須經他人的審視和評判, 才有可能重新形成並成為人們接受的客觀數學知識; (4) 啟發式過程取決於客觀標準; (5)評判發表的數學知識, 其客觀標準是建立在客觀的語言知識及數學知識的基礎上; (6) 數學主觀知識本質上是內化了的、 再建構了的客觀知識; (7) 在數學知識的增添、 再建或再現方面, 個人能夠發揮作用。絕對主義數學觀向可誤主義數學觀的演變, 本質上反應出由靜態數學觀向動態數學觀的發展。 絕對主義注重終結性數
7、學知識的判定, “不僅把知識看作一種客觀成果的知識, 而且常常根本否定涉及知識的哲學合理性” (Ernest, 1991), 因而, 絕對主義是一種靜態的數學觀。 相比之下, 由於認識到數學真理不是絕對的, 可誤主義強調理論的取代和知識的發展, 關注人類創造知識的環境和數學的歷史根源。 這兩種不同的數學觀在教育中折射出兩種不同的教學觀。 靜態數學觀視 “結果” 為重, 因而把數學教學理解為知識結果的教學, 形成一種 “結果式” 的教學範型。 動態教學觀則以 “過程” 為重, 更強調知識的發生和發展過程, 數學教學就應該揭示知識的生長、 暴露思維內核, 在數學活動中去習得知識。 因而, 與動態數
8、學觀對應是一種 “過程式” 教學範型。社會建構主義解釋了個人與社會相互作用促進主觀知識與客觀世界相適應的機理, 為個人主觀知識的建構提供了認識論基礎。 這一理論彙通在教育範疇, 則體現為主體學習的內涵。 一方面, “主觀知識不是被動接受的”, 而是由認識主體主動建立的, 認知的功能是適應並用於個人經驗世界的組構” (Glasersfeld, 1989)。 另一方面, “物質和社會的客觀制約對主觀知識具有塑造作用, 這種作用使得主觀知識與客觀知識 (包括社會和物質世界的以及他人的知識) 之間相一致” (Ernest, 1991)。 因而, 教學中學生是主觀知識建構的主體, 他們以客觀知識為參照,
9、 借62數學傳播26卷4期 民91年12月助於個人先前的經驗去建構新的知識體系, 而個人構築的主觀知識是否與客觀知識相一致, 需要由社會評判。 在教學中教師是主要評判員, 教師依據自己的主觀知識去評判學生自我建構的主觀知識, 因為教師的主觀知識與客觀知識有高度的一致性, 是客觀知識的複本。 從這個意義上說, 教師是教學中的另一個主體, 而其行為又表現出一種“主導” 作用。數學觀的演變給數學教學進而給數學解題教學兩點啟示: (1) 應當把數學教學理解為數學思維活動的教學, 其範型為 “過程+結果”。 (2) 數學學習是學生主動建構知識的過程, 教師的主導作用是設計利於學生主動建構知識的環境, 促
10、進學生習得的主觀知識與客觀知識在有效時間內趨於一致。2. 心理學理論發展的啟示20 世紀上半葉, Thorndike 創立了聯結主義的學習理論, 把學習解釋為刺激與反應之間的聯結。 之後, 該理論逐步發展為行為主義, 但行為主義的研究視野並沒有超越聯結論的範式,其基本觀點是: 認為學習的實質在於現成刺激與反應之間的聯結, 這種聯結是直接的、 無中介的, 是靠嘗試錯誤而建立的。 行為主義強調對學習的客觀研究, 相對忽視學習的內部過程。針對行為主義忽視對學習的內在心理過程研究的缺陷, 20 世紀下半葉產生了認知學習理論。 格式塔心理學率先崛起, 隨後由 Tolman、 Piaget、 Gagne、
11、 Bruner、 Ausubel、 Anderson等將認知學習理論的研究推向深入。 下面擷起兩種在當今教學心理領域影響較大的理論做一分析, 從而得到對建立數學解題教學理論基礎的啟示。2.1. 知識分類與表徵理論Anderson 在近 20 餘年中致力於對人的智慧理論研究, 他的研究中心在於探討知識的各種表徵性質以及它們的功能, 因而他是闡明這一領域中的一些重大理論問題的開拓者。 概括起來, 知識分類與表徵理論的研究主要有以下結果。?1知識的分類。 Anderson 認為知識可以分為兩類, 一類是陳述性知識 (declarative knowl-edge), 另一類知識程序性知識 (proce
12、dural knowledge)。 根據 認知心理學詞典 (edited byM. W. Eysenck, 1990) 的定義: “陳述性知識是個人具有有意識的提取線索, 因而能直接陳述的知識。 程序性知識是個人無有意義的提取線索, 因而其存在的只能借助於某種作業形式間接推測的知識。” Mayer 於 1987 年在綜合 Gagne 和 Anderson 知識分類的基礎上, 提出了一個廣義的知識觀。 他將知識分為三類: (i) 語義知識, 指個人關於世界的知識; (ii) 程序性知識, 指用於具體情境的演算法或一套步驟; (iii) 策略性知識, 指如何學習、 記憶或解決問題的一般方法, 包括
13、應用策略進行自我監控。論數學解題教學的現代理論基礎63?2陳述性知識的表徵。 陳述性知識的基本表徵形式有三種, 即命題、 表像和線性排序。 命題是陳述性知識的最小單元, 相單於個體頭腦中的一個觀念。 表像指在知覺基礎上對事務的形象表徵。 線性排序指對事物之間線性次序的編碼? 陳述性知識塊的表徵是圖式。 Anderson 認為: “圖式是對範疇的規律性作出編碼的一種形式。 這些規律性既可以是知覺性的, 也可以是命題性的。”?3程序性知識的表徵。 程序性知識的表徵是 “產生式” (production)。 產生是實際上是一條 “條件行動” 規則, 及一個產生式總是對某一或某些特定的條件滿足時才發生
14、的某種行為編擬的程式。?4陳述性知識的獲得與精緻。 精緻是指與當前所學的信息建立起更多聯繫的一增加或擴充的心理過程種。 Anderson、 Gange、 Bobrow、 Bransford (1979)、 Hyde (1973) 等的研究表明: 建立命題網路是理解知識的基礎, 陳述性知識的提取依賴於命題的激活, 精緻能夠產生對各種材料的更好的記憶, 精緻能對人記憶的搜尋表現出結構化, 從而更有效地提取到信息。?5程序性知識的獲得。 在特殊領域內, 程序性知識分為自動化技能和策略性知識等兩類。Anderson 認為自動化基本技能的獲得分為三階段: 認知階段、 聯繫階段、 自動化階段。 在認知階段
15、, 學生將使用自己已有的為達到一定目的的一般產生式或稱弱的方法, 對某一技能作出陳述性解釋, 並對這一技能的各項條件及行動形成最初具陳述性表徵的編碼。 在聯繫階段, 原先指導行為的知識將發生兩種轉變: 第一, 陳述性表徵將慢慢轉變為特殊領域裏的程序性知識; 第二, 構成這一程式的各個部份的產生式間的聯結將得以增強。 在自動化階段, 整個程序本身得到進一步的精緻和協調, 使技能逐步達到自動化。 對於策略性知識, 則不是一個從有意識過渡到自動化的階段。 策略性知識的獲取受原有知識背景、 反省認知發展水平、 動機水平的影響。上述關於認知心理的研究, 給教學賦予了新意。 其一, 將知識分為陳述性知識、
16、 程序性知識(包括智慧技能和認知策略), 這樣就對知識做了廣義地理解, 這種廣義的知識觀將知識、 技能與策略融為一體, 從這樣意義上說, 掌握了廣義的知識就是發展了能力, 因而, 研究如何發展智力的問題就變成研究如何有效地掌握不同類型知識的問題。 其二, 對陳述性知識和程序性知識的表徵研究, 本質上是對認知結構的一種細緻刻畫, 使其認知結構的概念內涵更加清晰, 更利於完善認知結構的教學操作。 其三, 知識的分類為教學設計中的教學目標的定位起了導向作用, 不同類型的知識學習有不同的教學目標, 因而也就有不同的教學策略, 這樣, 廣義的知識觀就有利於科學地進行教學設計。2.2. 建構主義理論哲學領域的建構主義研究與心理學領域的建構主義研究相互滲透、 並行發展。 迄今, 已產生了派系繁多的建構主義流派, 陳琦等 (1998) 將其歸納為 6 類: 極端建構主義、 社會建構主64數學傳播26卷4期 民91年12月義、 社會文化認知觀、 資訊加工建構主義、 社會建構論、 控制系統。 這些不同傾向的建構主義在“知識建構” 觀上是一致的, 分歧僅在於 “外部輸入內部生成” 和
