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1、“ 含参数一元二次不等式的解法” 教学设计及体会李军文 （ 江苏省南京市宁海中学 ） 年月 日， 笔者在南京市鼓楼区开 设了一节公开课“ 含参数一元二次不等式的解法” ， 专家认为本节课有三大亮点： 一是从教材的一个简单问题出发， 通过变形拓展、 层层推进实现本节教学内容， 变形拓展蕴含一定的思维深度 二是问题解决过程不断渗透化归思想， 以问题变式为主线， 引导学生回归数学本源三是变式始终与开头问题对比， 启发学生去发现问题的本质， 培养了学生收敛性思维能力， 是目前新课改下需要的一种高效课型 为此笔者将本节课的教学设计及体会整理如下 教学内容分析 地位及作用 一元二次不等式在江苏高考数学考试
2、大纲中为级要求（ 即掌握） ： 要求系统地掌握知识的内在联系， 并能解决综合性较强的或较为困难的问题二次型不等式是联系不等式、 函数、 方程、 几何、 三角等的桥梁和纽带， 在高考中常常作为考查学生的综合应用知识的能力出现 教学重点、 难点 重点： 通过类比、 变式揭示含参数一元二次不等式的解法檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶泛应用通过对不同的具体推理进行分析、 比较、 抽象和概括来掌握概念， 在“ 生活化” 到 “ 数学化” 的过程中培养学生的数学思维和数学情感 ， 形成理性思维文化： 在潜移默化中渗透情感教育本节课从改编自华罗庚
3、教授玻璃球实验的信封游戏开始， 就始终在潜移默化中渗透数学文化的教育通过讨论生活中与数学中的归纳实例， 让学生意识到数学“ 来源于生活， 又高于生活” ； 通过介绍哥德巴赫猜想与陈氏定理， 适时地激发学生的爱国热情和勇于探索的科学精神； 通过柯西在数学大会上推翻费马猜想的小故事， 让学生感受数学“ 猜想检验再猜想” 螺旋上升的艰辛（） 自我反思目标： 从理性上认识归纳推理波利亚曾经说过： “ 数学有两个侧面， 由欧几里德方法提出来的数学看来像一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看起来却像一门实验性的归纳科学” 课本首次把以往渗透在具体教学中的思维方法， 以集中、 显性的形式呈现出来， 让学
4、生更明确这些方法， 并在今后的学习中有意识地使用， 培养学生言之有理、 论证有据的习惯因此， 本节课的核心就是引导学生“ 从理性上认识归纳推理” ， 重要的是归纳推理思维的形成过程， 而不是“ 如何进行归纳推理” 的习题训练课 笔者在初次备课时未意识到这一点， 对概念的形成过程这一重中之重一带而过， 因而在概念出现后由学生举例时， 出现不是归纳推理的情形就不足为奇了经师傅点拨修改后， 教学效果大有改观例题： 不能掩盖归纳的本质归纳推理的概念学生早已在生活实践中有所认知， 因此笔者在选取实例时有一些纠结： 选取生活化的实例恐思维强度不够， 选取思维强度大的例子又恐掩盖归纳的目的在反复思量后安排了
5、上述例题，但例的选取仍然不如人意， 第小题的结果学生不易归纳得到事实上在学习新概念时， 我们需要的是最简单、蕴含本质、 核心内涵的例子， 不能让背景过于复杂或难度过大的例题掩盖了数学概念的本质设计： 创造性地使用教材本节课的教学内容是层次分明的， 但照搬教材依样画葫芦必定不得法 在教学设计中， 笔者希望通过创造性地使用教材， 将生活、 数学、 文化作有机的整合， 让学生在一堂课中细品数学自生活中来， 在探索中前进， 并将最终作用于生活 基于这一想法， 在设计时， 笔者在实例引入概念之后， 刻意先讲解例题， 而将哥德巴赫猜想和费马猜想的介绍放在了最后， 以提升学生对数学文化的情感教育在实际操作中
6、， 这样的安排也取得了良好的效果教育的发展关键在于教师的发展， 而教师的发展关键在于自身素养的提高 笔者通过这次磨课得到了很多启示， 注重教材研究， 勤于反思总结， 用反复磨课来体悟教法， 用不断反思来提升自我！中学数学月刊 年第期难点： 对参数进行正确的分类讨论 目标分析 知识与技能 （） 进一步熟悉求解一元二次不等式的方法、步骤（） 通过对参数正确的分类讨论来解含参数的一元二次不等式（） 培养数形结合的能力， 分类讨论、 转化的能力， 综合分析、 解决问题的能力 过程与方法从熟悉的解一元二次不等式问题入手通过把系数变换成字母来探究其解法， 在变式中对比发现问题的同源性， 同时在解决问题中感
7、受参数对问题的影响， 明确分类的原因和标准， 学会对参数进行正确的分类讨论 情感、 态度与价值观通过探究， 增强对数学的亲和力， 面对困难， 培养坚韧的意志， 通过点拨激发学习数学的热情， 培养勇于探索、 勇于创新的精神 学法、 教法分析小组讨论并代表发言学生已经学习过系数为常数的一元二次不等式的解法， 对解法的本质有了一定的了解， 把系数变成参数后怎么解？通过对比点拨让学生去发现含参数一元二次不等式的解法与系数为常数的解法本质是相同的通过教师设置的问题链（ 即变式）进一步感受参数对解决问题的影响， 明确分类的原因通过变式过程让学生明白变与不变的辩证关系及在变化中发展自己的思维能力 教学过程展
8、示 情景创设， 引入课题问题： 解不等式师： 这个不等式会解吗？（ 故弄玄虚）生： 会！师： 解解看！生（ 板书） ： 原不等式等价于， 即（） （） 由的图象得解集为（ ，）（， ）师： （ 分析引导）其解法可分解成化标、 求根和由图象写解集这三个步骤设计意图 由熟悉的问题想到尚待解决的问题应是教师培养学生思维的一个着眼点 本问题设置的目的在于帮助学生复习一元二次不等式解法的三步骤， 且为下面的变式做准备 变式引导， 深化课题师： 此不等式中系数均为常数， 若把系数改为字母如何解呢？变式 解关于的不等式（）（ 小组讨论后）生： 令（） ， 即（） （） 解得方程根，（）当 时， 由 函 数
9、图 象 得（ ，）（， ） ； （） 当 时， 由函数图象得（，）（， ） ；（）当 时， 由 函 数 图 象 得（ ，）（， ） 师： 大家赞同他的解法吗？生： 赞同！师： 从解题过程看， 把不等式中系数改为字母，解法变了没有？生： 解法本质没变， 但利用图象求解集时要对两个根大小关系分类讨论！师： 好！由于根中含有参数， 所以两根大小关系不确定， 因而要对两个根大小关系分情况讨论， 以便写出解集继续看下面问题：变式 解关于的不等式生： 不好因式分解！还没想好生： 可以用求根公式师： 上黑板试一试生（ 板书） ： 令 ， 则方程的根 槡 ， 槡 因为， 所以解集为 ， 槡 （） 槡 ， （）
10、师： 解题过程有问题没有？生：时就不对！师： 所以完整的解法是 生： 对判别式分类讨论师： 好！你上来替他修改一下生（ 板书） ： （） 当时， 解集同上；（）当时， 由图象得 年第期 中学数学月刊 师： 很好！通过以上两个变式的讨论， 你们有什么收获？生： 含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式其解题过程实质一样， 一元二次不等式的系数中含字母（ 即参数）时往往伴随着分类讨论， 分类讨论感觉（ 学生笑）与以下因素有关（）的符号， （）两根，的大小关系 趁热打铁， 提升课题师： 是否分类讨论， 怎样分由问题本身决定， 但分类时标准要明确， 不能重复和遗漏！继续看下面的问题：变式 解关
11、于的不等式 受变式、 变式的影响， 学生思维已很活跃，此时趁热打铁， 方能一气呵成！生： 对分类讨论（ 板书）（）当时，若 ， 即 时， ， 槡 （） 槡 ， （）；若， 即时，（，）（， ） ；若， 即时， （）当时， 则， 故 槡 ， 槡 （）（）当时， ， （）师： 这个解法很棒！当项系数中含字母， 往往对系数分大于零、 等于零、 小于零三种情况以确定不等式类型， 进而确定解法！设计意图 高考中对逐级分类讨论有一定要求， 老师在平时教学中要根据所教内容， 合理设计，利用现有素材有意识训练学生逐级分类讨论思想，这对提升学生思维能力和解决问题能力是有帮助的！ 随堂检测， 巩固课题随堂检测：
12、解关于的不等式（） （） （）；（） ；（） 设计意图 及时巩固所学知识， 反馈学生掌握和理解情况方式 三个学生板演， 学生自己点评， 老师最后评价， 并现场统计全班（ 人）答题情况如下：正确人数错误人数正答率（）题 题 题 笔者认为课堂教学是否有效关键看“ 学生掌握得怎样” ， 正答率统计表显示这对一个普通班（ 借班）来说效果相当不错！说明一次项、 常数项系数中含一个参数的一元二次不等式解法问题学生初步掌握， 懂得了参数对解题的影响， 且能正确分类讨论， 达到了本节课的教学目的题的信息反馈说明逐级分类讨论学生掌握不透， 在今后教学中还需加强训练 教学体会 变式教学是组织教学的一种重要形式 在
13、学生最近发展区去合理地设置问题的变式不失为一种重要手段！本课从学生熟悉的解不等式出发， 通过拓展变形、 层层推进组织本课教学， 起点低， 入口宽， 通过不断地变式激发学生思考欲望， 取得了较好的教学效果 老师要加强多元评价意识， 课堂评价的内容和方式要灵活多样， 将表现性评价（ 如学生的表情、发言、 课上问答等） 、 交流性评价（ 如师生、 生生之间的讨论、 互动等） 、 检测性评价（ 如课堂练习、 板演等）相结合 笔者在教学过程中多次对学生表现适时肯定， 最后采用有针对性的随堂练习对本课教学效果及时反馈， 对教师了解学情、 调整教学思路大有裨益！ 合理的目标定位是实施高效课堂的指路明灯， 要把握好以下三方面： （）认真研读“ 课标” ， 吃透后方能把握好方向， 一元二次不等式被江苏高考列为级考点（ 掌握和综合运用程度） ， 所以本节课的目标定位为会对参数作正确的分类讨论， 培养数形结合的能力、 转化的能力、 综合解决问题的能力；（）仔细阅读教材 了解教材的编排体系， 系统分析教材内容， 把握数学知识间的纵横联系， 把教学内容放到知识的结构链中思考弄清每一个问题的功能， 把握好变式的度； （）读懂显性知识背后的隐性知识， 尤其是数学思想、 数学文化、 理性精神和哲学思想 分类讨论实质是通过分类转化为可以解决的小问题， 再采取各个击破策略中学数学月刊 年第期
