函数零点纵横谈

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1、上海中学数学 2 0 1 3年第 1 2期 4 7 函数零点纵横谈 2 2 1 0 0 3 江 苏省徐 州市第三十五 中学 顾 玉石 新课标下的高考越来越注重对学生综合素质的 考查 ， 函数零点问题便是考查学生综合素质 的一个 很好途径 它主要涉及 函数概念 、 基本初 等函数 图 像 ， 渗透着转化 、 化归 、 数形结合 、 函数与方程等思想 方法 ， 在培养思维的灵活性 、 创造性等方面起到了积 极的作用 近几年 的数学高考中频频 出现零点 问题 ， 那么如何处理零点 问题呢?可 以从横 向、 纵 向两个 维度来观察 、 研究 图像 ， 利用函数概念 、 图像 、 性质来 解决零点问题

2、一、纵篇 函数零点存在性定理 ： 如果函数 y 一- 厂 ( ) 在 区 间 n， 6 上的图像是一条连续不间断的曲线， 并且有 _ 厂 ( 口 ) _厂 ( 6 ) 0， ( 2 ) 一 P + 2 2 一e 0 所 以 函数 厂 ( ) 一e +r 2的 零点 所 在 的 一个 区间是 ( O ， 1 ) ， 故 选 C 例 2 若函数 厂( ) = = = z +( a +1 ) r +n 一2的 一个零点比 1 大 ， 一个 比 1小， 则实数 a的取值范围 是 解析 ：由函数 厂 ( ) 解 析式知其图像开 口向上 ， 又 函数 ，( r ) 的零 点 有 两 个 ， 其 中一 个零

3、 点 比 1大 ， 个 比 1 小 ， 故只需要考虑纵线 T = = = 1 ， 让其与函数 厂 ( ) 的 l y=x2 q l 一 V i 1 图 1 交点在 轴 的下方即可 ， 如图 1 所 以 厂 ( 1 ) 一1 +口 + 1 +口 一2 一n +a a ( a + 1 ) dO， 得 一1 0 ) ， f ( a + ) 一g ( 盘 ) ， 证明： 存在常数 M， 使得对于任意 的 E N ， 都 有 a M 解析 ： 研究函数 h ( ) 一厂( ) 一g ( ) 的零点可 以通过导数研究 函数 h ( ) 的单调性 ， 利用函数单调 性 ， 结合零点存在性定理 ， 从纵向考虑

4、特殊值所对应 的函数值的符号来判断零点存在 的区间， 从而得函 2 探 究途 径 ： 分 而治 之 ， 各 个 突 破 ； 由数 到形 ， 数形结合 3 拓展反思 ： ( 1 )相 同的变换 以不同的顺序出 现 ， 会产 生 什么样 的结果 ? ( 2 )如果 函 数 YAs i n ( c o x+ ) ( A 0 ， 0 ) 不规定 A0 ， 0 ， 情况会有些怎样 的变化?留给 读者做进一步探究 y = A s i n ( c o x + 0 参考文献 1 陶 惠 民 对 探究 式 教 学 的理 解 与 实 践 J 数 学通 报 ， 2 00 4， 9 4 2 上海中学数学 2 0 1

5、3年第 l 2期 数 h ( ) 的零点个数 解：( 1 )函数 h( z ) 的定义域 为 0 ， +。 。 ) ， 且 ) 一 3 z 一 1 一 记函数 ( ) 一3 i g 2 -1 一 专， 则 ) 一 6 + 丢 所 以 ) 0在( 0 ， +C x 3 ) 上恒成 立， 即函数 ( ) 在( 0 ， +。 。 ) 上单调递增 ， 则函数 ( ) 在 ( 0 ， +o c ) ) 内至多只有一个零点 又 图2 因为 ( 1 ) 0 ， ( 1) ( 1 ) 一0 所以， 当 ( 0 ， ) 时 ， 函数 jl ( z) 单调递减 ， 而 h ( O ) 一0 ， 则函数 h ( )

6、 在 ( 0 ， 内无 零 点； 当 ( ， +。 。 ) 时 ， h( ) 单调 递 增 ， 且 h ( 1 ) 0 ， 则 函数 h( ) 图 像如图 3所示 =n i x ) 一 2 点 ， 则实数 a的取值范围是 y = 1 4 x 一 l | ， 4 。 I? n O i j ： =2 图 4 解析 ：函数 厂 ( ) 一 l 4 x l a的零点个数 即方 程 f 4 x l a的根 个 数 ， 等价 于 方 程 组 I 4 一 r l ， 公共解的个数， 所以只要研究函数 1 一 口 l l 4 一-z 。 l 和横线 a图像交点的个数即可得到 实数 n的取值范围 由图 4 可知

7、 ， 当 0 0时 ， -厂 ( z ) 一t l 有 4个不 同的 x ( x 1 、 3 2 2 、 3 、 X 4 ) 满 足 g( z) 一o ， 当 t 2 0时， f ( x ) 一t 2有 4个不同的 r ( 5 、 6 、 7 、 s) 满足 g ( ) =0 ， 所 以函数 g ( ) 要 有 8个 零 点 ， 只 要满足关于 厂 ( ) 的一元二次方程 g ( z ) =a E f( r ) -f ( x ) +1 有两个不等的正根即可， 故 r 一 l t 1 + I t l 。 4 a 0 z 一丢 。 ， 解 得 ( 。 ， ) 一Ao 上 海 中学数 学 2 0 1

8、 3年第 1 2期 4 3 三 、 纵 横篇 函数 f ( x ) 的零 点 是方 程 厂( ) 一0的 实 数 根 ， 即函数 f( ) 的零点 既可 以看成是 方程 组 一rrr 、 J 6 、 ，( 其 中厂 ( ) 一g ( ) -a ) 公共解中的 的 1 a ： = L r 、 值， 又可以看成是J ： “ ： ， ( 其中， ( ) 一h ( ) 一 I Y一 定L -z) 忌 ( ) ) 公共解 中的 z的值 ， 从 图像角度 看， 函数 Y 一 -厂 ( ) 的零点就是 函数 Y g ( ) 与 Y a图像交点的 横坐标 ， 或函数 h( ) 与 Y k ( ) 图像交点的横

9、 坐标 所 以既可以从横 向考虑函数 图像与水平直线 交点的情况 ， 也可以从纵向考虑函数图像交点情况 ， 从而确定满足条件 的参数 的取值范围 对于某 些复 合函数 ， 既要从纵 向考虑函数的最值 ， 也要从横向考 虑函数值所对应的 z的值的情况 ， 即要从横向和纵 向综合考虑来解决零点问题 例 6 ( 2 0 1 1辽宁高考) 已知 函数 厂 ( ， ) 一e 一 2 z +n有零点 ， 则实数 a的取值范围是 解 析 ：方 法 l 纵 向 函数 厂 ( ) 一e 一2 x+a的零 ， 1，=p f 点即为方程组 ： 公 1 一 a 共解 中 的值 ， 可以转化 为函 数 P 与 Y一2

10、xa图像 交 点的横坐标 作 出 函数 Ye 与 Y一2 xa图像 ， 如 图 6所 示 ， 其 中函数 一2 x一盘的图 像是斜率为 2的一组平行直线 y 1 z 一。 | i 图 6 又 一e ， 由导 数 的 几 何 意义 知 ， 函 数在 点 ( 1 n 2 ， 2 ) 处的切线 的斜率为 2 ， 此时切线方程为 ： 一 2 x+ 2 2 1 n2 当直线向上平移时， 直线 一2 n与函数 Y 图像有交点 ， 即函数 厂 ( ) 一e 一2 x+a有零点 ， 所 以 a 2 1 n 2 2 方法 2 横向 函数 厂 ( ) 一e 一2 x+a的零点即为方程组 y =2 z 一 公共解中

11、 的值 ， 可 1 a 以转 化 为 函数 Y一 2 x e 与 Y a 图像交点 的横坐标 ， 作 出函 数 Y一2 ， 一e 与 Y：a图像 ， 如 l n2 0 。7 y 图 7 图 7所示 利用导数可 以得到函数 Y 一2 x co 的最 大值 ， 即转化为 a小于等于 g( ) 一2 x e 的最大 值来解决 由 g ( z) 一 2 一 P 得 ， 当 ( 1 n 2 ， + 。 。 ) 时 ， g C r ) 0 ， 故 函数 g( ) 在 ( 一E X D ， I n 2 ) 上单 调 递 增 ， 所 以 函 数 g( ) 在 r l n 2 时取最 大值 所 以 a g (

12、) 一2 1 n 2 2 例 7 ( 2 0 1 2江苏 高考 ) 若 函数 Yf( ) 在 。处 取 得 极 大 值 或 极 小 值 ， 则 称 为 函数 一，( ) 的极值点 已知 a ， b是 实数 ， 1和一1是 函 数 厂 ( I，r ) 一 。 +n +b z的两个极值点 ( 1 )求 和b的值 ； ( 2 )设 函数 g( ) 的 导 函数 g ( z) 一_厂 ( z ) +2 ， 求 g ( ) 的极值点 ； ( 3 )设 h ( r ) =S I S( x ) 一c ， 其 中 c 一2 ， 2 ， 求函数 h ( ) 的零点个数 解 析 ：本题 中要 求 函数 Yh (

13、) 的零 点 个 数 ， 因为函数 h ( ) 是关于函数 厂 ( ) 的复合函数 ， 所 以首先应从横 向考虑 函数 厂 ( ) 的不同函数值对应 的纵 向 值的个数来研究 ， 然后再把不 同的 的值 看成 函数 f( ) 的值 ， 再从横 向去考虑对应 的 值的 个数 ， 从而确定 函数 h ( ) 的零点个数 解 ：( 1 )由题 设 知 厂 ( ,7 2 ) 一 3 x + 2 a r + b ， 又 f ( 一1 ) 一0， f ( 1 ) 一0， 所 以 a 一0， 6 一一3 ( 2 )略 ； ( 3 )令 厂 ( z) 一t ， 则 h ( ) 一厂 ( t ) 一c 先讨论关

14、 于 的方 程 厂 ( ) 一d根 的个 数 厂 ( ) 一3 0 3 3 ( +1 ) ( r 一 1 ) ， 令 厂 ( ) 一 3 ( +1 ) ( 一1 ) 0 ， 解 得 r 1 ， 所 以 函 数 厂 ( ) 在( 一。 。 ， 一1 ) 和( 1 ， +。 。 ) 上单调递增 ； 令 ( ) 一3 ( r +1 ) ( 一1 ) 2 时， 方程 厂 ( ) 一d有且只有一个实 数根 o ， 2 7 0 2 ； ， 当 J d； 6 o ) ， 圆 Ez方程 为 + 。 一n 。 ， 过 椭 圆 的左 顶 点 A作斜率为k 的直线 z 与 椭圆 E 和 圆 E 。分别相 交于 B C I Y I 图 1 (工)若 k 一1时， B恰好为线段AC的中点 ， 试 求椭圆 E 。的离心率 e ； ( II ) 若椭圆E 的离心率 P 一， F 为椭圆的 右焦点 ， 当 l B A l + l BF I 一2 a时， 求 k 的值 ； ( II I )设 D 为 圆E 上不 同于 A 的一点 ， 直线 AD的斜率为 k ， 当 一 时 ， 试 问直线 B D是否过 定 n 定点?若过定点 ， 求 出定点坐标 ； 若不过定点 ， 请说 明理 由 解法探讨 ：( 工) ( ) 解略 徂 何 口2 + 。 ， 此方程必有一