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1、MT-002 指南奈奎斯特准则对数据采样系统设计有何意义作者：Walt Kester 简介LPF OR BPFN-BIT ADCDSPN-BIT DACLPF OR BPFfatfsfsAMPLITUDE QUANTIZATIONDISCRETE TIME SAMPLINGfa1 fsts=1 fsts=图1：典型的数据采样系统Rev.A, 10/08, WK Page 1 of 12只是快速阅读Harry Nyquist于1924年发表的贝尔系统技术杂志经典文章(参考文献1)， 并不足以了解以其名字命名的该项准则的真正意义。当时，Nyquist正致力于研究通过带 宽受限的通道传输电报信号。处
2、理数据采样系统时，必须详细了解现代对奈奎斯特准则的 全新诠释。本指南将以通俗易懂的方式介绍奈奎斯特准则如何运用于基带采样、欠采样和 过采样应用。图1所示为典型的实时数据采样系统框图。实际进行模数转换之前，模拟信号通常会通过 某种放大、衰减和滤波等功能的信号调理电路。而要消除目标带宽之外的干扰信号并防止 出现混叠，则需要低通/带通滤波器。图1所示的系统是实时系统，即该系统fs的速率对输入ADC的信号进行连续采样，而ADC同样以此速率将新样本提供给DSP。为了维持实时操作，DSP必须在采样间隔(1/fs)内完成 所有必要计算，并在ADC的下一样本到达之前向DAC提供输出样本。数字滤波器就是一 个典
3、型的DSP功能示例。MT-002N-BIT SAR ADC ENCODER CONVERSION TIME = 8sEXAMPLE:dv = 1 LSB = q dt = 8s N = 12, 2N= 4096fmax= 9.7 Hzv(t) = 2N 2sin (2f t )dv dt2N 22f cos (2f t )=dv dtmax=2(N1)2fdv dtmax2(N1)2qfmax=fs= 100 kSPSANALOG INPUTNdv dtmaxq2Nfmax=qqqPage 2 of 12 注意，只有DSP数据必须再次转换成模拟信号(例如，在语音频带或音频应用中)时，才需 要D
4、AC。在很多应用中，初始模数转换之后，信号仍旧全部以数字格式存在。类似地，在 一些应用中，DSP仅负责产生DAC的输入信号。如果使用了DAC，则其后必须紧跟模拟抗 镜像滤波器来消除镜像频率。最后，在一些速度较慢的工业过程控制系统中，采样速率要 慢很多。无论何种系统，采样理论的基础知识都仍旧适用。实际的模数和数模转换过程涉及到两个关键概念：离散时间采样和量化所致有限幅度分辨 率。本指南将讨论离散时间采样。采样保持放大器(SHA)功能作用正如图1所示的一般的数据采样系统是假定输入端为某种类型的交流信号。应注意，这并 不是一项硬性要求（例如，针对直流测量优化的现代数字电压表(DVM)或ADC），但本
5、次 讨论假定输入信号具有一定的频率上限fa。当今大多数ADC都内置采样保持功能，因而能够处理交流信号。此类ADC称为“采样 ADC”。不过，很多早期ADC(如ADI公司的行业标准AD574)并不属于这种采样类型，而只 是如图2所示的编码器。如果转换时间(如8 s)内SAR ADC(假定不具有SHA功能)的输入信 号变化超过1 LSB，输出数据将出现较大误差，具体取决于代码位置。可能除具有相配比 较器的fash转换器之外，大多数ADC架构或多或少都受到这类误差影响。图2：非采样ADC(编码器)的输入频率限制MT-002假定编码器的输入信号是具有满量程幅度(q2N/2)的正弦波，其中q是1 LSB
6、的权重。()n i s2t f22v(t)N = q.等式1 通过求导可以得到：(soc2 ft222fqd)dvN =.等式2 因此，最大变化率为：22 dtdvNmax= 2fq.等式3 求解f：Nmax2dtdvf q=.等式4 Page 3 of 12 如果N = 12，且转换时间(dt = 8 s)内允许出现1 LSB的变化，那么该等式可求解fmax，即不 出现误差的情况下可处理的最大满量程信号频率：fmax = 9.7 Hz.这表示，即使8 s ADC支持100 kSPS采样频率(这样就额外多出2 s时间来让外部SHA在退 出保持模式后重新获取信号)，但一旦输入频率超过9.7 Hz
7、，仍会出现转换误差。 为了处理交流信号，需要增加采样保持(SHA)功能，如图3所示。理想的SHA是一个简单的 开关，用于驱动保持电容及其后的高输入阻抗缓冲器。缓冲器的输入阻抗必须足够高，以 便电容可以在保持时间内放电少于1 LSB。SHA在采样模式中对信号进行采样，而在保持 模式期间则保持信号恒定。同时调整时序，以便编码器可以在保持时间内执行转换。因 此，采样ADC可以处理快速信号，且频率上限取决于SHA孔径抖动、带宽和失真等，而非 编码器。在给出的示例中，采样保持功能在2 s内进行信号采集，而编码器则在8 s内进行 信号转换，因而采样周期总计10 s。这样，采样频率就等于100 kSPS，并
8、且最高能够处理 50 kHz的输入频率。MT-002ADC ENCODERTIMINGSAMPLING CLOCKSW CONTROLANALOG INPUTSAMPLEHOLDSAMPLECENCODER CONVERTS DURING HOLD TIMESW CONTROLNPage 4 of 12 了解真正的采样保持放大器(SHA)和跟踪保持放大器(T/H或THA)之间的细微差异非常重 要。严格来说，并不会在采样模式期间定义采样保持功能的输出，但跟踪保持功能的输出 会在采样或跟踪模式期间跟踪信号。在实际操作中，该功能一般配置为跟踪保持，且“跟 踪保持”和“采样保持”术语通常可以互换使用。
9、图3所示的波形就是与跟踪保持功能相关的 那些波形。图3：对交流信号进行数字化处理所需的采样保持功能奈奎斯特准则连续模拟信号以离散的时间间隔ts = 1/fs采样，该时间间隔必须精心选择，确保采样数据能 精确描述原始模拟信号。很显然，采样越多(采样速率越快)，模拟信号的数字表示就越精 确。如果采样较少(采样速率较慢)，则少到某一点时，模拟信号的关键信息将因得不到采 样而丢失。在贝尔电话实验室工作期间，Harry Nyquist分别于1924和1928年发表了两篇经 典论文，奠定了采样的数学基础。(请参见参考文献1和2，以及参考文献6的第2章。)之后 不久，R. V. L. Hartley对Nyq
10、uist的原始工作进行了补充(参考文献3)。这些论文构成了上世 纪40年代PCM工作的基础，而后在1948年Claude Shannon撰写了其在通信理论方面的经典 论文(参考文献4)。简而言之，奈奎斯特准则要求采样频率至少是信号所含最高频率的两倍，否则信号所承载 的信息将会丢失。如果采样频率小于最大模拟信号频率的两倍，将会出现一种称为“混叠” 的现象。MT-0021 fsINPUT = faALIASED SIGNAL = fs faNOTE: faIS SLIGHTLY LESS THAN fst0.5fs0.5fsfsfs1.5fs1.5fs2fs2fsfaIIIIIIIIfaAB1st
11、 NYQUIST ZONE2nd NYQUIST ZONE3rd NYQUIST ZONE4th NYQUIST ZONEPage 5 of 12 为了理解混叠对时域和频域的影响，首先请考虑图4所示采样单音正弦波的时域表示情 况。在此示例中，采样频率fs并未达到至少2fa，而仅仅是略大于模拟输入频率fa，因而违背 了奈奎斯特准则。注意，实际样本的图案产生了较低频率(fs fa)的混叠正弦波。这种情况的对应频域表示如图5B所示。现在考虑采用理想的脉冲采样器以fs的频率对频率为fa的单频正弦波进行采样(见图5A)。另外假定fs 2fa，如图所示。采样器的频域输出显示 每数个fs附近均会出现原始信号
12、的混叠或镜像，具体位于| Kfs fa|，K = 1, 2, 3, 4, .图4：时域中的混叠现象图5：使用理想采样器以fs频率进行采样时模拟信号fa具有镜像（混叠）， 具体位于| Kfs fa|，K = 1, 2, 3, . . .MT-002Page 6 of 12 奈奎斯特带宽定义为从DC到fs/2的频谱。该频谱可细分为无数奈奎斯特区，每个宽度等于 0.5fs，如图所示。在实际操作中，理想采样器可以替换为后接FFT处理器的ADC。FFT处 理器仅提供DC到fs/2范围内的输出，即第一奈奎斯特区出现的信号或混叠。接下来，我们考虑第一奈奎斯特区之外的信号情况(图5B)。信号频率仅仅略小于采样
13、频 率，对应图4中时域表示所示的条件。注意，即使信号位于第一奈奎斯特区之外，其镜像 (或混叠)fs fa仍位于该区内。现在回到图5A。很明显，如果任何镜像频率fa处出现干扰信 号，那么也将会出现在fa处，因而会在第一奈奎斯特区内产生杂散频率成分。这类似于模拟混频过程，同时意味着需要在采样器(或ADC)之前放置一些滤波器件来消除 位于奈奎斯特带宽之外但其混叠成分又位于该范围之内的频率成分。滤波器性能将取决于 带外信号与fs/2的接近程度和所需的衰减量。基带抗混叠滤波器基带采样意味着要采样的信号位于第一奈奎斯特区之内。需要注意的是，当理想采样器的 输入端没有输入滤波时，任意奈奎斯特区内奈奎斯特带宽
14、之外的任意频率成分(信号或噪 声)都将混叠回到第一奈奎斯特区。为此，几乎所有采样ADC应用中都会使用抗混叠滤波 器来消除这些干扰信号。合理指定抗混叠滤波器是非常重要的。第一步是了解待采样信号的特性。假定最高目标频 率为fa。抗混叠滤波器任由DC至fa范围内的信号通过，同时对fa以上的信号进行衰减。假定所选滤波器的转折频率等于fa。系统动态范围内从最小衰减到最大衰减的有限跃迁效 应如图6A所示。MT-002BADRfsfafs- faKfs- fafafs 2KfsKfs 2 STOPBAND ATTENUATION = DR TRANSITION BAND: fato fs- faCORNER
15、 FREQUENCY: faSTOPBAND ATTENUATION = DR TRANSITION BAND: fato Kfs- faCORNER FREQUENCY: faPage 7 of 12 图6：过采样降低对基带抗混叠滤波器的要求假定输入信号具有超过最大目标频率fa的满量程成分。该图显示了fs fa以上的满量程频率 成分如何混叠回到DC至fa的带宽范围内。这些混叠成分不易与实际信号区分开来，因此将 动态范围限制为图中显示为DR的值。有些文章推荐根据奈奎斯特频率fs/2来指定抗混叠滤波器，但这时假定目标信号带宽为DC 至fs/2，而那种情况非常少见。在图6A的示例中，fa和fs/2
16、之间的混叠成分并不是目标成 分，因此不会限制动态范围。因此，抗混叠滤波器的过渡带取决于转折频率fa、阻带频率fs fa和所需阻带衰减DR。所需 系统动态范围的选择依据是信号保真度要求。所有其它条件不变时，过渡带越陡，滤波器就越复杂。例如，与所有其他滤波器一样，巴 特沃兹滤波器针对每个滤波器极点提供每倍频程6 dB衰减。要在1 MHz到2 MHz的过渡区 (1倍频程)内实现60 dB衰减，需要至少10个极点。这样的滤波器可不是随随便便就能实现 的，绝对是一项设计挑战。因此，其它滤波器类型通常更适合于对陡峭过渡带、带内平坦度以及线性相位响应有要求 的应用。椭圆滤波器满足这些标准，是一种颇受欢迎的选择。有一些公司专门提供定制模 拟滤波器。TTE就属于这类公司(参考文献5)。例如，TTE公司11极点椭圆抗混叠滤波器 LE1182的归一化响应如图7所示。注意，此滤波器专用于在fc和1.2fc之间实现至少80 dB衰 减。图7还显示了相应的通带纹波、回损、延迟和相位响应。MT-002Reprinted w
