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1、120122012 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）答案数学（理科）答案说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答 未 改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得 超 过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不 再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4只给
2、整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分题号12345678答案DBCABDCA二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性共 7 小题，每小题 5 分满分 30 分其中 14-15 题是选做题，考生只能选做一题第 13 题仅填对 1 个，则给 3 分，11.311.3 13.3513.35， 1010 33492 ,32102 , 1 1226 .142.15三、解答题；本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明证明过程和演算步骤 16(本小题满分 12 分) (本小题主要考查两角和的正切、诱导
3、公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知 识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力)2因为 , 1cos22sm由、解得9 分51cos2因为)23,(所以,10 分55cos552sin所以11 分4sinsin4coscos)4cos(12 分10103 22)552(22 5517(本小题满分 12 分) 本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与 必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解：依题意，得1 分),95939087(41)96968987(41a解得 a=32 分(2)解：根据已知条件，可以求
4、得两组同学数学成绩的平均分都为=923 分x所以乙组四名同学数学成绩的方差为35 分992959293929392874122222S（3）解：分别从甲、乙两组同学中随机选取一名同学，共有 44=16 种可能的结果6 分 这两名同学成绩之差的绝对值 X 的所有情况如下表：X XO1234689P P 161 162 161 164 162 163 161 162l0 分 随机变量 X 的数学期望为11 分16291618163616241643161216211610EX12 分417 166818(本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线画关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知
5、识，考查数 形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)4所以6 分 6332222BDPDPB在PBC 中，因为，,6BC6PB32PC所以222PCPBBC所以PBC 为直角三角形7 分 证明 2：因为 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABC=AC，PD平面 PAC，PDAC， 所以 PD平面 ABC1 分 记 AC 边上的中点为 E，在ABC 中，因为 AB=BC，所以 BEAC因为，6 BCAB, 4AC所以3 分. 22)6(2222CEBCBE连接 BD， RtBDE 中，因为BED=900 ，BE=，DE=1，2所以4 分. 31)2(2
6、222DEBEBD在BCD 中，因为 CD=3，BC=，BD=.63所以所以 BCBD5 分222CDBDBC因为 PD平面 ABC，BC平面 ABC，所以 BCPD6 分5因为 BDPD=D，所以 BC平面 PBD因为 PB 平面 PBD，所以 BCPB所以PBC 为直角三角形7 分(2)解法 l：过点 A 作平面 PBC 的垂线，垂足为 H，连 PH，则APH 为直线 AP 与平面 PBC 所成的角8 分由(1)知，ABC 的面积9 分. 2221BEACsABC因为,所以l0 分3PD36232231 31PDsVABCABCP由(1)知PBC 为直角三角形6,6PBBC所以PBC 的面
7、积11 分36621 21PBBCSPBC因为三棱锥 A-PBC 与三棱锥 P-ABC 的体积相等，即ABCPPBCAVV即362331AH所以12 分362AH在 Rt PAD 中，因为1, 3ADPD所以13 分21)3(2222ADPDAP因为36 2362sinAPAHAPH所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为14 分36解法 2：过点 D 作AFDM /设MPCDM则 DM 与平面 PBC 所成的角等于 AP 与平面 PBC 所成的角8 分由(1)知 BCPD，BCPB且 PCPB=P所以 BC平面 PBD因为 BC 平面 PBC，6所以平面 PBC平面 PBD过点 D
8、作 DN 上 PB 于点 NM 连接 MN，则 DN平面 PBC所以DMN 为直线 DM 与平面 PBC 所成的角10 分在 RtPAD 中，因为, 1, 3ADPD所以11 分 2132222ADPDAP因为APDM /所以CACD APDM即43 2DM所以l2 分23DM由(1)知,且3BD6PB3PD所以l3 分26633PBBDPDDN因为,362326sinDEDNDMN所以直线 AP 与甲面 PBC 所成角的正弦值为14 分,36解法 3：延长 CB 至点 G，使得 BG=BC，连接 AG、PG，8 分在PCG 中,6BCBGPB所以CPG=900.即.PGCP 在PAC 中，因
9、为，32PC2PA, 4AC所以,222ACPCPA所以PACP 因为所以 CP平面 PAG9 分,PPGPA过点 A 作 AK 上 PG 于点 K，因为 AK 平面 PAG，所以 CPAK7因为 PGCP=P，所以 AK平面 PCG所以APK 为直线 AP 与平面 PBC 所成的角11 分由(1)知，BCPB所以32 PCPG在CAG 中，点 E、B 分别为边 CA、CG 的中点，所以12 分. 222 BEAG在PAG 中，, 2PA22AG, 32PG所以222PGAGPA即 PAAGl3 分因为36 3222sinPGAGAPK所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为14 分3
10、6解法 4：以点 E 为坐标原点，以 EB，EC 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系 Exyz，8 分则A(0,-2,0),)0 , 0 ,2(B)0 , 2 , 0(C)3, 1, 0( P于是,)3, 1 , 0(AP)3, 1 ,2(PB)3, 3 , 0(PC设平面 PBC 的法向量为),(zyxn 则即 00PCnPBn. 033032zyzyx取,则,. 1y3z. 2X所以平面 PBC 的一个法向量为12 分)3, 1 ,2(n设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 ,则36 624|n|,cos|sin APnAPnAP8所以直线 AP 与平而 PBC
11、所成角的正弦值为14 分36若第(1)、(2)问都用向量法求解；给分如下:(1)以点 E 为坐标原点，EB，EC 所在的直线分别为 X 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E-xyz1 分则,)0 , 0 ,2(B)0 , 2 , 0(C3, 1, 0 P于是,)3, 1,2(BP0 , 2 ,2BC因为00 , 2 ,23, 1,2BCBP所以BCBP 所以BCBP 所以PBC 为直角三角形7 分 (2)由（1）可得，A(0,-2，0)于是,)3, 1 , 0(AP),3, 1 ,2(PB)3, 3 , 0(PC设平面 PBC 的法向量为),(zyxn 则即 00PCnPBn. 033, 03
12、2zyzyx取则，, 1y3z. 2x所以平面 PBC 的一个法向量为12 分)3, 1 ,2(n设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 ，则 36 624|,cos|sin nAPnAP nAP所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为14 分3619(本小题满分 14 分) (本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以 及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识)(1)解：设等比数列的公比为 q，依题意有na9即2 分 .22422 2354 3aaaaa 2 23543 22aaaaa所以3 分22 12 14 13 12 1 22qaqaqaqa
13、qa由于, 01 a0 q解之得或5 分 21211qa121 1qa又所以，6 分0, 01qa21 1a21q所以数列的通项公式为7 分na)()21(*Nnan n(2)解：由（1）得，8 分) 32)(12(52 nnnbnnnnnna21 )32)(12(52所以nnnnb21)321 122(nnnn2) 32(1 2) 12(11分10 所以nnbbbS21)271 251(251 31(22)32(1 2) 12(11nnnnnn2)32(1 31 .故数列bn的前 n 项和nnnS2)32(1 31 14 分20 （本小题满分 14 分） （本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识， 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解 能力） (1)解：依题意可得 A(-1，0)，
