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1、关关于于2 的的补补码码作者： 阮一峰日期： 2009 年 8 月 5 日问一个基本的问题。负负数数在在计计算算机机中中如如何何表表示示？举例来说，+8 在计算机中表示为二进制的1000，那么-8 怎么表示呢？很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0 时就表示正数，等于1 时就表示负数。比如，在8 位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8 就是 00001000，而-8 则是 10001000。但是，随便找一本计算机原理，都会告诉你，实际上，计算机内部采用2 的补码（Twos Complement）表示负数。什什么么是是 2 的的补补码码？它是一种数值的转换方
2、法，要分二步完成：第一步，每一个二进制位都取相反值，0 变成 1，1 变成 0。比如，00001000 的相反值就是11110111。第二步，将上一步得到的值加1。11110111 就变成 11111000。所以，00001000 的 2 的补码就是11111000。也就是说，-8 在计算机（8 位机）中就是用 11111000 表示。不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采用这么麻烦的方式表示负数，更直觉的方式难道不好吗？昨天，我在一本书里又看到了这个问题，然后就花了一点时间到网上找资料，现在总算彻底搞明白了。2 的的补补码码的的好好处处首先，要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数，其
3、实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系，就可以用任意方式表示负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择一种最方便的方式。2 的补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。还是以-8 作为例子。假定有两种表示方法。一种是直觉表示法，即10001000；另一种是2 的补码表示法，即 11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便？随便写一个计算式，16 + (-8) = ?16 的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成：可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000 的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就
4、是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。现在，再来看2 的补码表示法。可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9 位的二进制数。我们已经假定这是一台8 位机，因此最高的第9 位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是 16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2 的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。2 的的补补码码的的本本质质
5、在回答 2 的补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个步骤的转换方法是怎么来的。要将正数转成对应的负数，其实只要用0 减去这个数就可以了。比如，-8 其实就是 0-8。已知 8 的二进制是00001000，-8 就可以用下面的式子求出：因为 00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。所以，0000000 也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成：进一步观察，可以发现100000000 = 11111111 + 1，所以上面
6、的式子可以拆成两个：2 的补码的两个转换步骤就是这么来的。为为什什么么正正数数加加法法适适用用于于2 的的补补码码？实际上，我们要证明的是，X-Y 或 X+(-Y)可以用 X 加上 Y 的 2 的补码完成。Y 的 2 的补码等于(11111111-Y)+1。所以，X 加上 Y 的 2 的补码，就等于：X + (11111111-Y) + 1我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1接下来，分成两种情况讨论。第一种情况，如果X 小于 Y，那么 Z 是一个负数。这时，我们就对Z 采用 2 的补码的逆运算，求出它对应的正数绝对值，再在前面加上负号就行了。所以，Z = -11111111-(Z-1) = -11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1) = X - Y第二种情况，如果X 大于 Y，这意味着Z 肯定大于 11111111，但是我们规定了这是 8 位机，最高的第9 位是溢出位，必须被舍去，这相当于减去100000000。所以，Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y这就证明了，在正常的加法规则下，可以利用2 的补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之，计算机只要部署加法电路和补码电路，就可以完成所有整数的加法。
