大学物理第5章 刚体的定轴转动

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1、第5章 刚体的定轴转动1演示实验1、茹科夫斯基 转椅（和车轮）2、陀螺仪3、质心运动（ 杠杆）4、不同质量分 布的等质量柱体 滚动5、车轮进动一、刚体的定轴转动定律二、转动刚体的角动量守恒三、刚体转动的功和能四、无滑动滚动 瞬时转轴（补充）五、进动目 录25.1 刚体的定轴转动定律 zOmiri外力矩沿z轴分量的代数和刚体沿z轴的角动量刚体对z轴的转动惯量32、适用于转轴固定于惯性系中的情况。3、对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速 度，上式也成立。（惯性力对质心的力矩和 为零）1、由关于定点的质点系角动量定理，向过该点 的固定转轴投影得到。4转动 平面外力对固定转轴力矩的计算：沿转轴方向：

2、沿转轴反方向转动平面内的分力对转轴的力矩5计算转动惯量的几条规律：1、对同一轴可叠加：2、平行轴定理：3、对薄平板刚体，有垂直轴定理：JcJdmC 质心rixzyiximiy2 41mR6常用的转动惯量直径薄球壳：直径球体：过中点垂直于杆细杆：过一端垂直于杆圆柱体：对称轴7例2：证明球体对任意直径的转动惯量 为：证明：如图所示，在坐标z处取高为dz的小圆柱作为质元， dzzRro8例：一飞轮的转动惯量为J，在t=0时 的角速度为0，此后飞轮经历制动过 程，阻力矩M的大小与角速度的平方 成正比，比例系数为k，当=0/3时 ，飞轮的角加速度=？从开始制动到 =0/3所经历的时间t=?解：9与一维质

3、点动力学方法一致10【例】转轴光滑，初态静止，求下摆到 角时的角加速度，角速度，转轴受力。11解：刚体定轴转动1、受力分析2、关于O轴列 转动定理【思考】为什么不关于过质心轴列转动定理？12由求 ：13（1） 平动：质心运动定理3、求转轴受力14（2） 转动：关于质心轴列转动定理为什么？15【例】一长为L，质量为m的均匀细棒，水平放 置静止不动，受垂直向上的冲力F作用，冲量 为Ft（t很短），冲力的作用点距棒的质心l 远，求冲力作用后棒的运动状态。解 （1）质心的运动质心以vC0的初速做上抛运动。lFC16（2）在上抛过程中棒的转动绕过质心转轴，列转动定理：lFC在上抛过程中，棒以恒定角 速度

4、绕过质心轴转动。【演示实验】 质心运动（杠杆） 175.2 转动刚体的角动量守恒1、绕定轴转动2、几个刚体绕同一定轴转动【演示实验】茹科夫斯基转椅(和车轮)、陀螺仪3、关于过质心轴若合外力矩为零，则刚体总角动量守恒，角 动量可在这几部分间传递。若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。若对过质心轴合外力矩为零，则对该轴刚体 角动量守恒。无论质心轴是否是惯性系。185.3 刚体转动的功和能力矩的功：不太大刚体的重力势能：机械能守恒定律：只有保守力做功时合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的 功，等于它的转动动能的增加19用机械能守恒重解：转轴光滑，初态静止，求下摆到角 时的角加速度，角速度。20解：杆机

5、械能守恒比用转动定律简单！势能零点绕固定轴 转动动能21杆动能的另一种表达：科尼西定理势能零点质心动能绕过质心轴 转动动能225.4 刚体的无滑动滚动 瞬时转轴（补充） 1、平面平行运动只考虑圆柱，球等轴对称刚体的滚动。质心做平面运动绕过质心垂直轴做转动2、无滑动滚动：RCp任意时刻接触点P 瞬时静止无滑动滚动条件：【思考】下一时刻P点位置？23转动惯量小的滚得快！【演示实验】不同质量分布的等质量柱体滚动质心运动定理过质心轴转动定理 纯滚动条件（运动学条件）【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？mgfRCxy243、轴对称刚体无滑动滚动中的

6、瞬时转轴CpABD EF时刻t 接触点P 瞬 时静止；在时间(tt+t) 内，以P点为原点 建立平动坐标系；时间(t t+t)内，刚体的运动（质心平动、 绕质心轴转动）可以看成：绕过 P 点且垂直于 固定平面的转轴的无滑动滚动。接触点P ：瞬时转轴瞬时转动中心25绕瞬时转轴的转动定理的形式？虽然p点瞬时静止，但有加速度，所以除了 力矩Mp外，还应考虑惯性力矩。下面证明：对于无滑动滚动的轴对称刚体， 接触点p的加速度沿过p点的半径方向，因此， 关于过p点的转轴，惯性力矩等于零。惯性力作用在质心上，方向与p点的加速度 方向相反。关于过p点转轴的转动惯量轴对称刚体，绕瞬时转轴的转动定理：26证明：p

7、点相对惯性系的加速度p点相对质心的加速度RCp按切、法向分解：无滑动滚动：p点加速度沿半径方向ap 过p点转轴惯性力矩等于零27【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？ 关于瞬转轴列转动定理重解：mgfRCp简单多了！285.5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 讨论力矩对时间的积累效应。 质点系： 对点：对轴：刚体：刚体定轴转动的角动量定理29刚体定轴转动的角动量守恒定律：对刚体系， M外z = 0 时， ，此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。茹科夫斯基转椅(KL016)陀螺仪（KL029）转台车

8、轮 (KL017)演示 角动量守恒：30克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大 气产生克服机身 反转的力矩装置反向转动的双 旋翼产生反向角动 量而相互抵消TV 角动量守恒定律 (注3)31滑冰运动员的旋转猫的下落（A ）猫的下落（B）32m (黏土块)yxh POM光滑轴均质圆盘（水平 ）R例 如图示，求：碰撞后的瞬刻盘P 转到 x 轴时盘 解： m下落：(1) mPhv对（m +盘），碰撞中重力对O 轴力矩可忽略，(2) 已知：h，R，M=2m， =60系统角动量守恒： 33(3)对（m + M +地球）系统，mmgOM R 令P、x 重合时 EP = 0，则：(5)由(3)(4)(5)

9、得：由(1)(2)(3)得： (4)只有重力作功，E守恒。（m +盘）角动量34旋进： 5.6 旋进（进动，precession）如玩具陀螺的运动：轴转动的现象。高速旋转的物体，其自转轴绕另一个35p2 p1m2m1r2m1r1L2L1LOz点的 不平行于 。若质量对转轴分布对称，下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称对转轴不对称，的刚体的旋进问题。刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。例如，图示的情形：质量则：则对轴上O36 MdLmgOL从而产生旋进运动。玩具陀螺的旋进：只改变方向而不改变大小，37dLO旋进角速度：演示 车轮旋进（KL023)TV 旋进防止炮弹翻转（注2）38 回转效应产生

10、附加力矩： 轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。左转dLMM dt =dL附加力附加力轴承附加力可能造成轴承的损坏，附加力矩也可能造成翻船事故。M左转弯的力矩 三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。L39 地球转轴的旋进，岁差随着地球自转轴的旋进，北天极方向不断改变。北极星 3000年前 小熊座 现在 小熊座 12000年后 天琴座 （织女）T = 25800年 C1C2F1F2 太阳赤道平面黄道平面地球北 天 极地轴L地球自转角动量（F1F2 ）M地球自转轴旋进40地轴 旋进旋进周期25800年秋分点春分点西分点每年在黄 道上西移50.2太阳年（回归年） ：太阳由春分秋分春分恒星年（时间长）

11、：地球绕太阳一周的时间岁差 （precession）岁差 = 恒星年 太阳年 = 20分23秒北半球南半球黄道面赤道面 太阳东41我国古代已发现了岁差：每50年差1度（约72/年） 前汉（公元前206 23） 刘歆发现岁差。晋朝（公元265 316 ）虞喜最先确定了岁差：将岁差引入历法：391年有144个闰月。祖冲之（公元429 500）编大明历最先（精确值为50.2/年）42当旋进发生后，总角速度 只有刚体高速自转时，才有 这时也才有 和以上 的表示式。当考虑到 对 的贡献时， 自转轴在旋进中还会出现微小的上下的周期性摆动，运动叫章动（nutation）。这种431. 定轴转动的运动学问题

12、解法：利用定轴转动的运动学描述关系2. 转动惯量的计算 解法：（1）定义法：习题基本类型Ov定 轴Pzr44（2）平行轴定理若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对 其转动惯量为J，则有 J = JC + m d 2。 3. 定轴转动的动力学问题 解法：利用定轴转动中的转动定律 步骤：（1）审题，确定研究对象； （2）建立坐标系；（3）对研究对象进行受力分析和受力矩分析，并按 坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方（注： 受力分析和受力矩须取隔离体），并用线角量关系将 F = ma 与 M = J 联系起来； （4）计算对轴的转动惯量； （5）解方程，求未知，并对结果进行必要的讨论。45

13、4. 定轴转动中的功能问题 解法：利用动能定理和机械能守恒定律5. 角动量原理及角动量守恒定律6. 混合题型解法：应用运动学公式、转动定律和角动量守恒 定律。465.1 一 汽车发动机的转速在7.0s 内由200rev/min均匀地增 加到3000rev/min。（1）求这段时间内的初角速度、末角速度及角加速度；（2）求这段时间内转过的角度；（3）发动机轴上装有一半径为 r = 0.2m 的飞轮，求它边 缘上一点在这第7.0s 末的切向加速度、法向加速度和总加 速度。（1）初角速度：解：0 = 2200/60 = 20.9 (rad/s) 末角速度： = 23000/60 = 314 (rad

14、/s)角加速度为： （2）转过的角度为47总加速度为：总加速度与速度（切向）之间的夹角（3）切向加速度为法向加速度为48由于转动惯量具有可加性，所以已 挖洞的圆板的转动惯量J 加上挖去的圆 板补回原位后对原中心的转动惯量J1就 等于整个完整圆板对中心的转动惯量J2 即R OR/2C5.2 从一半径为R的均匀薄板上挖去一个直径为 R 的圆 板，所形成的圆洞中心在距原薄板中心 R/2 处，所剩薄 板的质量为m。求此薄板对于通过原中心而与板面垂直 的轴的转动惯量。ROR/2C解：设板质量密度为厚度为a，则J = J2 - J149由于则最后求得ROR/2C505.3 如图，两物体质量为m1 、 m2

15、 ，滑轮的质量为m， 半径为 r，可视作均匀圆盘。已知 m2与桌面间的滑动摩 擦系数为k ，求 m1下落的加速度和两段绳子中的张力 各为多少。设绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦 力忽略不计。 解：（绳在轮上不打滑）（向下为正）（向右为正）线角量关系：对m1 、 m2 、滑轮分别进 行受力分析，画出示力图（顺时针为正）aa m2m1rT1m1gfT2T1T2方程组的解为：5.4 如图，两个圆轮的半径分别为R1 和R2 , 质量分别为 M1 、M2 ，二者皆 可视作均匀圆柱体且同轴固结在一起 ，可绕一水平固定轴自由转动。今在 两轮上绕有细绳，绳端分别挂上质量 为 m1 和 m2 的两个物体。求在重力作 用下，m2下落时轮的角加速度。解：（向上为正）（向下为正）对m1 、 m2 、整个滑轮分别进行 受力分析，画出示力图（顺时针为正）m1 m2R2R1M1M2oa1T1m1ga2T2m2gT1T253线角量关系（绳在轮上不打滑）：方程组的解为：545.5 一根均匀米尺，在60cm刻度处钉到墙上，且可以 在竖直平面内自由转动。先用手使米尺保持水平，然后 释放。求刚释放时米尺的角加速度和米尺到竖直位置时 的角加速度。解