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1、4 4 最大公因式最大公因式5 5 因式分解因式分解6 6 重因式重因式10 10 多元多项式多元多项式11 11 对称多项式对称多项式3 3 整除的概念整除的概念2 2 一元多项式 一元多项式 1 1 数域数域7 7 多项式函数多项式函数9 9 有理系数多项式有理系数多项式8 8 复、实系数多项复、实系数多项式式 的因式分解的因式分解第一章第一章 多项式多项式一、带余除法一、带余除法二、整除二、整除 1.31.3 整除的概念整除的概念对 一定存在 使 成立，其中或 一、带余除法定理并且这样的 是唯一决定的 称 为 除 的商， 为 除 的余式 1.31.3 整除的概念整除的概念 若 则令 结论
2、成立 若 设 的次数分别为 证：当 时， 结论成立 显然取 即有 下面讨论 的情形，假设对次数小于n的 ，结论已成立先证存在性对 作数学归纳法 次数为时结论显然成立 1.31.3 整除的概念整除的概念设 的首项为 的首项为 则 与 首项相同， 因而，多项式 的次数小于n或 f1为0若 令 即可 若 由归纳假设，存在 使得 现在来看次数为n的情形 1.31.3 整除的概念整除的概念其中 或者 于是即有使成立的存在性得证 由归纳法原理，对 1.31.3 整除的概念整除的概念再证唯一性若同时有其中其中和则 即 1.31.3 整除的概念整除的概念但 矛盾 所以从而 唯一性得证 1.31.3 整除的概念
3、整除的概念) 附：综合除法的商式 和余式可按下列计算格式求得：这里，若 则 除 1.31.3 整除的概念整除的概念去除 求一次多项式 的商式及余式 把 表成 的方幂和，即表成的形式说明： 综合除法一般用于 1.31.3 整除的概念整除的概念例1求 除 的商式和余式解: 由 ) 有 1.31.3 整除的概念整除的概念4 解: 1 例. 把 表成 的方幂和 = 23 2345=136 36 14 4 1 110=5=10= 1.31.3 整除的概念整除的概念二、整除1定义设若存在 使 则称 整除 记作 时， 称 为 的因式， 为 的倍式 不能整除 时记作： 1.31.3 整除的概念整除的概念 允许
4、 ，此时有 即区别：零多项式整除零多项式，有意义除数为零，无意义 当时， 如果 则 除 所得的商可表成 1.31.3 整除的概念整除的概念定理1 2整除的判定 1.31.3 整除的概念整除的概念3整除的性质1) 对 有 对 有 即，任一多项式整除它自身；零多项式能被任一多项式整除；零次多项式整除任一多项式时， 与 有相同的因式和倍式2) 若 ，则 1.31.3 整除的概念整除的概念3) 若则 证： 若 则 使得 使得 若 则 1.31.3 整除的概念整除的概念皆为非空常数4) 若 （整除关系的传递性）成立 故有 1.31.3 整除的概念整除的概念5) 若 则对 有 注：反之不然如 但 1.31.3 整除的概念整除的概念6) 整除不变性：两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变 例3求实数 满足什么条件时多项式整除多项式 1.31.3 整除的概念整除的概念附：整数上的带余除法对任意整数a、b（b0）都存在唯一的整数q、r，使 aqbr， 其中 1.31.3 整除的概念整除的概念作业P44 1. 2) 2. 2) 3. 2) 4. 2)
