《南大复变函数与积分变换课件(PPT版)1.5 复变函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南大复变函数与积分变换课件(PPT版)1.5 复变函数（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 1.5 复变函数一、基本概念二、图形表示三、极限四、连续2第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 一、基本概念在以后的讨论中，D 常常是一个平面区域，称之为定义域。按照一定法则，有确定的复数 w 与它对应，一般情形下，所讨论的“函数”都是指单值函数。上定义一个复变函数，记作定义 设 D 是复平面上的一个点集，对于 D 中任意的一点 ，z对每个 有唯一的 w 与它对应； 单值函数比如多值函数 对每个 有多个 w 与它对应；比如则称在 D3第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 一、基本概念一个复变函数对应于两个二元实变函数。分析则 可以写成设 其中
2、， 与 为实值二元函数。分开上式的实部与虚部得到4第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 分开实部与虚部即得代入 得解 记 P21 例1.13 5第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 GG二、图形表示C映射 复变函数 在几何上被看作是把 z 平面上的一个平面z平面w点集 变到 w 平面上的一个点集 的映射(或者变换)。其中，点集 称为像，点集 称为原像。函数、映射以及变换可视为同一个概念。(分析)(几何)(代数)D zxywuv6第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 二、图形表示反函数与逆映射双方单值与一一映射为 w 平面上的点集 G，设函数 的定义域为 z 平面上的点集 D，值域的
3、一个(或几个)点 z，一个函数它称为函数 的反函数，也称为映射 的逆映射。若映射 与它的逆映射 都是单值的，则称映射 是双方单值的或者一一映射。则 G 中的每个点 w 必将对应着 D 中按照函数的定义，在 G 上就确定了7第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 解 (1) 点 对应的像(点)为 (2) 区域 D 可改写为：令则可得区域 D 的像(区域)G 满足即P22 8第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 函数 对应于两个二元实变函数例因此，它把 z 平面上的两族双曲线分别映射成 w 平面上的两族平行直线xy1 -1-11-6-10-8-4-2246810-10-8-6-4 -2uv
4、1010-10-102 4 6 8 100c1c2 09第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 三、极限定义 设函数 在 的去心邻域 内有定义 ,若存在复数使得当 时，有记作或注 (1) 函数 在 点可以无定义；(2) 趋向于 的方式是任意的。则称 A 为函数 当 z 趋向于 z0 时的极限，P23 定义1.1 10第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 xyz0d几何意义三、极限它的像点 就落在 A 的预先给定的 e 邻域内。uvAe当变点 一旦进入 的充分小的 d 邻域时,z0zf (z)z11第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 性质 如果则三、极限12第一章 复数与复变函数 1
5、.5 复变函数 定理三、极限设证明如果则当时，则必要性 “ ”P23 定理1.1 (跳过?)13第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 证明 充分性 “ ”则当 时，如果定理 设三、极限则14第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 三、极限关于含 的极限作如下规定：(3)所关心的两个问题：(1) 如何证明极限存在？(2) 如何证明极限不存在？ 选择不同的路径进行攻击。放大技巧 。(1)(2)15第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 xy讨论函数 在 的极限。例当 时，当 时，因此极限不存在。解 方法一P24 例1.15 16第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 解当 时，当 时，因
6、此极限不存在。方法二xy方法三沿着射线与 有关，因此极限不存在。讨论函数 在 的极限。例xy17第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 四、连续定义则称 在 点连续。若z0若 在区域 D 内处处连续，则称 在 D 内连续。注 (1) 连续的三个要素：存在；存在；相等。(2) 连续的等价表示：其中，(3) 一旦知道函数连续，反过来可以用来求函数的极限。通常说：当自变量充分靠近时，函数值充分靠近。P24 定义1.2 18第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 性质四、连续(1) 在 连续的两个函数 与 的和、差、积、商(分母在 不为零)在 处连续。z0z0z0(2) 如果函数 在 处连续，函数 在连续，则函数 在 处连续。z0z0(由基本初等函数的连续性可得初等函数的连续性)(3) 如果函数 在有界闭区域 D 上连续，则 P2619第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 证 (略) 例 证明在复平面上除去原点和负实轴的区域上连续。讨论函数 的连续性。例(当 时)故函数 处处连续。解yxez0dP25 例1.16 20第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 证明 (略)例如函数 在复平面内除原点外是处处连续的。 因为 除原点外是处处连续的，而 是处处连续的。P25 定理1.2 四、连续21第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数 轻松一下吧
