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1、第 14 章勾股定理14.1 勾股定理 1. 直角三角形三边的关系 2. 直角三角形的判定 阅读材料 勾股定理史话 美丽的勾股树14.2 勾股定理的应用 小结复习题 课题学习 勾股定理的“无字证明”第第 1414 章勾股定理章勾股定理还记得 2002 年在北京召开的国际数学家大会（）吗?在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标那是采用了 1700 多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图14.114.1 勾股定理勾股定理1.1. 直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系，让我们首
2、先观察经常使用的两块直角三角尺试一试试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：三角尺直角边 a直角边 b斜边 c关系12根据已经得到的数据，请猜想三边的长度 a、 b、 c 之间的关系图 14.1.1 是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形 P、 Q 的面积之和等于大正方形 R 的面积即AC ，222图 14.1.1这说明，在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?试一试试一试观察图 14.1.2，如果每一小方格表示 1 平方厘米，那么可以得到：正方形 P 的面
3、积 平方厘米；正方形 Q 的面积 平方厘米；（每一小方格表示 1 平方厘米）图 14.1.2正方形 R 的面积 平方厘米我们发现，正方形 P、 Q、 R 的面积之间的关系是 由此，我们得出直角三角形的三边的长度之间存在关系 做一做做一做在图 14.1.3 的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为 5cm、 12cm 的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立（每一小格代表 1 平方厘米）图 14.1.3概概 括括数学上可以说明： 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、 b，斜边为 c，那么一定有 a b c ，这种关系我们称为222勾股定理勾股
4、定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系例例 1如图 14.1.4，将长为 5.41 米的梯子 AC 斜靠在墙上，长为 2.16米，求梯子上端 A 到墙的底边的垂直距离 （精确到 0.01 米）图 14.1.4解解 如图 14.1.4，在 Rt中，.米， .米，根据勾股定理可得 .（米） AC22222. . 答： 梯子上端 A 到墙的底边的垂直距离 约为 4.96 米练习练习1. 在 Rt中， c， a， ACb， B90（1） 已知 a6， b10， 求 c；（2） 已知 a24， c25， 求 b2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是 3 厘米
5、和 4 厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?试一试试一试剪四个与图 14.1.5 完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图 14.1.6 所示的图形大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论图 14.1.5 图 14.1.6用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图 14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的读一读读一读我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦图 14.1.7 称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的图 14.1.8 是在北京召开的 2002 年
6、国际数学家大会（ICM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就图 14.1.7 图 14.1.8例例 2如图 14.1.9，为了求出位于湖两岸的两点 A、 B 之间的距离，一个观测者在点 C 设桩，使三角形恰好为直角三角形通过测量，得到 AC 长 160 米，长 128 米问从点 A 穿过湖到点 B 有多远?图 14.1.9解解 如图 14.1.9，在直角三角形中，AC米， 米，根据勾股定理可得96（米）22BCAC 22128160 答： 从点 A 穿过湖到点 B 有 96 米练习练习1. 如图，小方格都是边长为 1 的正方形，求四边形D 的面积与周长2. 假期中，王
7、强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走 8 千米，又往北走 2 千米，遇到障碍后又往西走3 千米，再折向北走到 6 千米处往东一拐，仅走 1 千米就找到宝藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点 B 的直线距离是多少千米?（第 1 题） （第 2 题）2.2. 直角三角形的判定直角三角形的判定古埃及人曾经用下面的方法画直角： 将一根长绳打上等距离的13 个结，然后如图 14.1.10 那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角你知道这是什么道理吗?图 14.1.10试一试试一试试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：（1） a3， b4
8、， c5；（2） a4， b6， c8；（3） a6， b8， c10可以发现，其中按（1）、 （3）所画的三角形都是直角三角形，而按（2）所画的不是直角三角形在这三组数据中， （1）、 （3）两组都满足 a b c ，而组（2）不满222足以后我们会证明一般的结论：如果三角形的三边长 a、 b、 c 有关系： a b c ，那么这个222三角形是直角三角形古埃及人所画的三角形的三边长恰好满足这样的关系，所以其中一个角是直角例例 3 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1） 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3） 13， 11， 9解解 因为
9、 25 ，222 ，222 ，222所以根据前面的判定方法可知，以（1）、 （2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形练习练习1. 设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形若是，指出哪一条边所对的角是直角（1） 12， 16， 20；（2） 8， 12， 15；（3） 5， 6， 82. 有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形?习题习题 14.11. 将图 14.1.6 沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯形利用此图的面积表示式验证勾股定理（第 1 题）2. 已知中，B， ACcm， cm，求的长. 已知等腰直角三
10、角形斜边的长为 2cm，求这个三角形的周长. 如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆试探索这三个圆的面积之间的关系（第题） （第 5 题）5. 如图，已知直角三角形的三边分别为 6、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积6. 试判断以如下的 a、 b、 c 为边长的三角形是不是直角三角形?如果是，那么哪一条边所对的角是直角?（1） a25， b20， c15；（2） a1， b2， c3；（3） a40， b9， c40；（4） abc51213阅读材料阅读材料勾股定理史话勾股定理从被发现到现在已有五
11、千年的历史远在公元前三千年的巴比伦人就已经知道和应用它了我国古代也发现了这个定理据周髀算经记载，商高（公元前 1120 年）关于勾股定理已有明确的认识， 周髀算经中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五 ”同书中还有另一位学者陈子（公元前六七世纪）与荣方（公元前六世纪）的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（如图所示），即邪至日勾股这里陈子已不限于“三、四、五”的特殊情形，而是推广到一般情形了人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的国外一般认为这个
12、定理是毕达哥拉斯（Pythagoras）学派首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理勾股定理曾引起很多人的兴趣，世界上对这个定理的证明方法很多1940 年卢米斯（E.S. Loomis）专门编辑了一本证明勾股定理的小册子毕氏命题，作者收集了这个著名定理的 370 种证明，其中包括大画家达芬奇和美国第任总统詹姆士阿加菲尔德（James Abram Garfield， 18311881）的证法美丽的勾股树你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物可是你是否见过如下的勾股树呢?你知道这是如何画出来的吗?仔细看看，你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽
13、的勾股树!动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树14.214.2 勾股定理的应用勾股定理的应用勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用例例 1如图 14.2.1，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程图 14.2.1分析分析 蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图 14.2.2），得到矩形 D，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线 AC 之长 （精确到.cm）图 14.2.2解解 如图 14.2.2，在 Rt中，
14、底面周长的一半cm， AC22BCAB 22104 229（cm）（勾股定理）答： 最短路程约为cm例例 2一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图 14.2.3 的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?图 14.2.3分析分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH如图.所示，点 D 在离厂门中线0.8 米处，且 CD， 与地面交于 H解解 在 RtOCD 中，由勾股定理得.米，22ODOC 228 . 01 C.（米）.（米）因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门做一做做一做图 14.2.4如图 14.2.4，以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，其中一个正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形试将图中 5个带色的图形拼入到大正方形中，填满整个大正方形练习练习1. 如图，从电杆离地面 5 米处向地面拉一条 7 米长的钢缆，求地面钢缆固定点 A 到电杆底部 B 的距离2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的
