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1、www.ZXSXW.net 中学数学网（群英学科）www.QYXK.net第 12 章 数的开方12.1 平方根与立方根1.平方根 2.立方根12.2 实数与数轴 阅读材料 为什么说 2 不是有理数 的算法5小结复习题 www.ZXSXW.net 中学数学网（群英学科）www.QYXK.net第第 1212 章数的开方章数的开方要剪出一块面积为 25cm2 的正方形纸片，纸片的边长应是多少?（ ） =25212.112.1 平方根与立方根平方根与立方根1.1. 平方根平方根本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面积为 25cm2，求这个正方形的边长容易知道，这个正方形的边长是 5cm这个问题实
2、质上就是要找一个数，这个数的平方等于 25概括概括如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根（square root）www.ZXSXW.net 中学数学网（群英学科）www.QYXK.net在上述问题中，因为 5 25，所以 5 是 25 的一个平方根2又因为（） ，所以也是 25 的一个平方根22这就是说，5 与都是 25 的平方根根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根例例 1 求 100 的平方根解解 因为 10 100， （） ，除了 10 和以外，任何22数的平方都不等于 100，所以 100 的平方根是 10 和，也可以说，100 的平方根是试一试
3、试一试（1） 144 的平方根是什么?（2） 0 的平方根是什么?（3）的平方根是什么?254（4） 有没有平方根?为什么?请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答概概 括括一个正数如果有平方根数的范围从有理数扩充到实数以后（本章第节），每一个正实数必定有两个平方根 ，那么必定有两个，它们互为相反数显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到它的另一个平方根正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根，记作，读作“根awww.ZXSXW.net 中学数学网（群英学科）www.QYXK.net号 a”；另一个平方根是它的相反数，即因此正数 a 的平方根可a以记作a 称为被开方数
4、a因为 0 的平方等于 0，而其他任何数的平方都不等于 0，所以 0的平方根只有一个，就是 0通常也记作00思思 考考负数有平方根吗?求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根在例 1 中，100 的算术平方根是 10010，100 的平方根是100例例 2将下列各数开平方：（1）49； （2）1.69解解（1） 因为 7 49，所以7，因此 49 的平方根为；249（2） 在例 1、例 2 中，我们是通过观察，利用开方与平方的关系来开平方的如果被开方数比较复杂，我们常用计算器直接得出一个正数的算术平方根（有时得到的是近似值）例例 3用计算器求下列各数
5、的算术平方根：（1） 529；（2） 1225；（3） 4481分析分析 用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可解解（1） 在计算器上依次键入5 2 ，www.ZXSXW.net 中学数学网（群英学科）www.QYXK.net显示结果为 23，所以 529 的算术平方根为23529（2） 在计算器上依次键入1 2 2 5 ，显示结果为 ，所以 1225 的算术平方根为1225（3） 在计算器上依次键入4 4 8 1 ，显示结果为 ，如果要求精确到 0.01，那么81.44练习练习1. 说出下列各数的平方根：（1） 64；（2） 025；（3） 49812. 用计算器计算：
6、（1） 676；（2） 278784；（3） 4225 （精确到 0.01）3. 下列说法正确吗?为什么?如果不正确，那么请你写出正确答案（1） 0.09 的平方根是 0.3；（2） 252.2. 立方根立方根问问 题题现有一只体积为 216cm3 的正方体纸盒，它的棱长是多少?思思 考考这个实际问题，在数学上可以提出怎样的一个计算问题?从这里www.ZXSXW.net 中学数学网（群英学科）www.QYXK.net可以抽象出一个什么数学概念?概概 括括上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216容易验证，63216，除 6 以外，任何数的立方都不等于 216，所以正方体的棱
7、长应为 6cm如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根（cube root）试一试试一试（1） 27 的立方根是什么?（2） 的立方根是什么?（3） 0 的立方根是什么?请你自己也编三道求立方根的题目，并给出解答概概 括括任何数（正数、负数或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个数 a 的立方根，记作，读作“三次根号 a”a 称为被开方数，33a称为根指数求一个数的立方根的运算，叫做开立方例例 4求下列各数的立方根：（1）； （2） 125； （3） 0.008278解解（1） 因为（） ，所以323. 3 2 2783（2） 因为（5） 125，所以533125www.ZXSX
8、W.net 中学数学网（群英学科）www.QYXK.net（3） 。例例 5用计算器求下列各数的立方根：（1） 1331；（2） 343；（3） 9263分析分析用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键若被开方数为负数， “”号的输入可以按（），也可以按解解（1） 在计算器上依次键入SHIFE 1 3 3 1 =，3显示结果为 11，所以1131331（2） 在计算器上依次键入SHIFT （） （或） 3 4 3 ，3显示结果为，所以73343（3） 在计算器上依次键入SHIFT 9 2 6 3 ，3显示结果为 ，如果要求精确到 0.01，那么 3263. 9练习练习1. 求下列
9、各数的立方根：（1） 512；（2） 0.027；（3） 125642. 用计算器计算：（1）；（2）；（3）（精确到 001）.368593576.173691. 5www.ZXSXW.net 中学数学网（群英学科）www.QYXK.net习题习题 12.11. 求下列各数的平方根：（1） ；（2） 0.36；（3） 32481162. 求下列各数的立方根：（1） 0.125；（2） ；（3） 172864273. 用计算器计算 （精确到 0.01）（1）；（2）89.16368924. （1）在哪两个整数之间?10（2） 3.13.2 正确吗?10（3） 下列四个结论中，正确的是（）A.
10、3.153.16 B. 3.163.171010C. 3.173.18 D. 3.183.1910105. 在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5cm ，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了30.62cm请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少?（用计算器计算，结果精确到 0.1cm）12.212.2 实数与数轴实数与数轴做一做做一做（1） 用计算器求；2（2） 利用平方关系验算所得的结果这里，用计算器求，显示结果为 1.414213562，而再用计算器2www.ZXSXW.net 中学数学网（
11、群英学科）www.QYXK.net计算 1.414213562 的平方，结果是 1.999999999，并不是 2，只是接近于 2这就是说，我们求得的的值，只是一个近似值2用计算机计算，你可能会大吃一惊：21.414213562373095048801688724209698078569671875376948073217667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206
12、057147010955997160597027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260362799525140798968725339654633180882964062061525835239505474575028775996172983557522033753185701135437460340849884716038689997069900481503054402779031645424782306849293691862158057846311159666871301301561856898
13、723723528850926486124949771542183342042856860601468247207714358548741556570696776537202264854470158588016207584749226572260020855844665214583988939443709265918003113882464681570826301005948587040031864803421948972782906410450726368813137398552561173220402450912277002269411275736272804957381089675040
14、183698683684507257993647290607629969413804756548237289971803268024744206226912在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于 2，也就是说，不是一个有理数2那么，是怎样的数呢?2我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的www.ZXSXW.net 中学数学网（群英学科）www.QYXK.net形式，必定是有限小数或者无限循环小数，例如，0.25， 0.0.666666666，41 320.1428570.14285714285714285771不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数2类似地，、圆周率
15、 等也都不是有理数，它们都是无限不循环35小数无限不循环小数叫做无理数（irrational number）上面所提到的、 等都是无理数235有理数与无理数统称为实数（real number）试一试试一试你能在数轴上找到表示的点吗?2如图 12.2.1，将两个边长为 1 的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形容易知道，这个大正方形的面积是 2，所以大正方形的边长为2图 12.2.1图 12.2.2这就是说，边长为 1 的正方形的对角线长是利用这个事实，2我们容易在数轴上画出表示的点，如图 12.2.2 所示2www.ZXSXW.net 中学数学网（群英学科）www.QYXK.net概概 括括数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数，即它所表示的数，不是有理数，就是无理数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示换句话说，实数与数轴上的点一一对应实数的大小比较和
