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1、1刘庆芳 数学与统计学院 办公室：理科楼330 办公电话：82663162 手机：13619218927 Email: 公共邮箱： 密码：mathmath 答疑：理科楼330,周三晚7:00-9:00 作业：周二下午交作业到理科楼3302波动方程热传导方程拉普拉斯方程或泊松方程本课程主要研究三类偏微分方程（PDE）31.1 数学模型的建立建模步骤 ： 1. 从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部 分与它的相互作用2. 研究物理量遵循哪些物理规律3. 按物理定律写出数理方程第1章 数学建模和基本原理介绍41. 以弦线所处的平衡位置为x轴，垂直于弦线且通过弦线的一个端点的直线为u轴建立坐标系2.
2、 u(x,t): 坐标为x的点在t时刻的位移3. 牛顿第二定律4. 具体建模波动方程的导出物理模型：长为 的均匀柔软的细弦作微小横振动，求弦线上任一点在任一时刻的位移。 5将所取小段弦线近似视为质点水平方向受力分析 选取一微元 作为研究对象u(x,t)u012T2T1xx+xBF6设 为u轴正向的单位向量，则有垂直方向受力分析7沿x轴方向沿垂直于x轴方向在微小横振动条件下由（1）式，弦中各点的张力相等牛顿第二定律：8弦振动方程(vibrating string equation)：波速a令刻划了柔软均匀细弦作微小横振动时所服从的一般规 律。9一维波动方程 -非齐次方程-齐次方程忽略重力和外力作
3、用：如考虑弦的重量：沿x轴方向，不出现平移沿垂直于x轴方向类似讨论u(x,t)u012T2T1xx+xBF10定解条件：初始条件和边界条件初始条件：分为初始位移和初始速度。即弦线做初 始时刻t=0时位移和速度11边界条件：一般来说有三种(1)已知端点的位移(第一类边界条件,Dirichlet边界)(2)已知端点所受垂直于弦线的外力(第二类边界条件,Neumann边界)(3)端点位置与弹性物体相连情况12x=0端，在时刻t，弹簧实际的伸缩量为 令 可得即类似可得x=l端边界条件为第三类边界条件的推导取区间 ，与建立弦振动方程完全相同的方法有由Hooke定律该处的弹力为13初始条件和边界条件通常称
4、为定解条件。一个微分方程 连同它相应的定解条件组成一个定解问题。14（二）热传导方程和定解条件模型及其假设： 1.内部有热源，与周围介质有热交换 2.均匀，各向同性导热体热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均 匀时，有热量从高温处流向低温处。热场 1.热力学第二定律积分形式 热量Q2(t2)-Q1(t1)=W+通过边界流入的热量 2.Fourier热定律3 比热容公式：Q=mcu15参数参数16171819热传导方程定解条件定解条件初始条件边界条件20212223常见的线性边界条件，数学上分为三类：常见的线性边界条件，数学上分为三类：n n第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量做边界上的
5、第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量做边界上的 数值；数值；n n第二类边界条件，规定了所研究物理量在边界外法线方向第二类边界条件，规定了所研究物理量在边界外法线方向 上的方向导数的数值；上的方向导数的数值；n n第三类边界条件，规定了所研究物理量及其外法向导数的第三类边界条件，规定了所研究物理量及其外法向导数的 线性组合在边界上的数值。线性组合在边界上的数值。24作业：P29 第1,2,3题25泊松方程或拉普拉斯方程泊松方程或拉普拉斯方程时称为拉普拉斯方程(调和方程)考虑热传导方程：则方程变为：称这个方程为泊松方程(位势方程)=0f261.2 定解问题的适定性 1.2.1 基本概念n n
6、偏微分方程偏微分方程n n偏微分方程的阶数偏微分方程的阶数n n线性与非线性方程线性与非线性方程n n齐次与非齐次方程齐次与非齐次方程n n线性定解问题线性定解问题n n方程的古典解，通解，特解方程的古典解，通解，特解27二阶线性二阶线性PDEPDE二阶线性二阶线性PDEPDE二阶非线性二阶非线性PDEPDE28把所有自变量依次记作x1, x2, xn，线性二阶偏微分方程可表为其中 aij, bi, c, f 只是 x1, x2, xn 的函数。偏微分方程，阶数，线性偏微分方程，自由项，齐次方程，非齐次方程二阶线性偏微分方程29微分方程的解 古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方
7、程成为恒等式，则这个函数就是该偏微 分方程的古典解。通解： 解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同 的任意常数的解。 特解： 通过定解条件确定了解中的任意常数后得 到的解。 301.2.2 1.2.2 适定性概念适定性概念解的存在性:即在给定的定解条件下，定解问题 是否有解存在? 从下一章起，我们要介绍三种 典型的数学物理方程的解法，它们直接给出了 解的存在性的证明。 解的唯一性:即在给定的定解条件下，定解问题 的解若存在，它是否唯一？如果能知道一个定 解问题具有唯一解，那么我们就能采用任何合 适的方法去寻找它的解。31解的稳定性：定解条件及方程中的参数有微小变 化时，解也只有微小的变动, 则
8、称该定解问题的 解是稳定的，否则称它的解是不稳定的。因为定 解条件中的一些已知量，通常总是利用实验得到 的数据，不可避免地会有一定的误差，所以人们 自然会关心定解条件的微小扰动是否会导致解的 变化很大。 适定性：一个定解问题存在唯一稳定的解，则 此问题是适定的。否则就称它为不适定的。 32由于许多数学物理问题均可以用适定的定解问题 来处理，长期以来，人们认为不适定数学物理问题 的研究是没有意义的，然而在实际问题中经常遇到 不适定的问题。例如，对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的 温度分布，那么在初始时刻物体应当具有一个什么样的 温度分布才能达到此目的？这就是一个不适定的问题它是所谓的数学物理
9、问题 的反问题。通过研究，人们找到了处理这类不适定问题的 一些办法。现在对不适定问题的研究已成为偏微分 方程的一个重要的研究方向。331.3 叠加原理 1.3.1 叠加原理(superposition principle)superposition principle)在数学物理中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产在数学物理中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产 生的效果，等于这些不同原因单独产生效果的累加。生的效果，等于这些不同原因单独产生效果的累加。例如，物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度例如，物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度 ，等于各个外力单独作用在该
10、物体上所产生的加速度的总和，等于各个外力单独作用在该物体上所产生的加速度的总和， 这个原理称为叠加原理。叠加原理适用范围非常广泛。这个原理称为叠加原理。叠加原理适用范围非常广泛。1. 1.如果几个电荷同时存在如果几个电荷同时存在, ,它们电场就互相叠加它们电场就互相叠加, ,形成合电形成合电 场场. .这时某点的场强等于各个电荷单独存在时在该点产生的场这时某点的场强等于各个电荷单独存在时在该点产生的场 强的矢量和强的矢量和, ,这叫做电场的叠加原理这叫做电场的叠加原理. . 2.2.点电荷系电场中某点的电势等于各个点电荷单独存在时点电荷系电场中某点的电势等于各个点电荷单独存在时, , 在该点产
11、生的电势的代数和在该点产生的电势的代数和, ,称为电势叠加原理称为电势叠加原理. .34线性问题和非线性问题的最根本区别就是：线性问线性问题和非线性问题的最根本区别就是：线性问 题的解满足叠加原理，而非线性问题的解一般来讲题的解满足叠加原理，而非线性问题的解一般来讲 不满足叠加原理。不满足叠加原理。35设设 是任意两个常数，是任意两个常数， 是两个具有二阶是两个具有二阶 连续偏导数的函数，简记为连续偏导数的函数，简记为 则有则有设自变量为设自变量为 x x、y y（或者（或者x x、t t），未知函数），未知函数u(x,y)u(x,y)， 则二阶线性偏微分方程的一般形式为则二阶线性偏微分方程的
12、一般形式为记记算符算符 为为通常称通常称 为二阶偏微分算子，易证为二阶偏微分算子，易证 是线性算子。是线性算子。36再介绍三个二阶线性偏微分算子：再介绍三个二阶线性偏微分算子：叠加原理叠加原理 1 1 设设 是二阶线性偏微分算子，是二阶线性偏微分算子， 为为n n个任个任意常数，意常数， 为平面区域为平面区域 内的内的n n个已知函数个已知函数若若 在区域在区域 内是如下方程的解内是如下方程的解则方程则方程37可解，且可解，且 是（是（8 8）在区域）在区域 内的一个解。内的一个解。注注1 1 叠加原理叠加原理1 1对三元函数对三元函数 u(x,y,z)u(x,y,z)情况也成立，此情况也成立
13、，此 时，时，注注2 2 叠加原理叠加原理1 1讨论的是自由项讨论的是自由项 的叠加性。例如方的叠加性。例如方 程程只需解出方程只需解出方程, ,其解分别为其解分别为，则原方程解为，则原方程解为注注3 3 叠加原理叠加原理1 1讨论的自由项讨论的自由项是有限和。是有限和。38如果该级数在区域如果该级数在区域 内收敛，且相应的解内收敛，且相应的解在区域在区域 内也收敛而且可以逐项求一阶和二阶偏导数，内也收敛而且可以逐项求一阶和二阶偏导数，相应的二阶偏导数的级数在区域相应的二阶偏导数的级数在区域 内一致收敛，此时叠加原理内一致收敛，此时叠加原理1 1 的结论仍成立。此条对下面的叠加原理也成立。的结
14、论仍成立。此条对下面的叠加原理也成立。注注4 4 线性定解问题，如果边界条件是齐次的，叠加原理也成线性定解问题，如果边界条件是齐次的，叠加原理也成 立。立。弦振动方程混合问题中，考虑如下的波算子定解问题弦振动方程混合问题中，考虑如下的波算子定解问题边界条件是齐次的。可分解为下面三个齐次边界条件的定解问题边界条件是齐次的。可分解为下面三个齐次边界条件的定解问题对于无穷级数3940叠加原理叠加原理2 2 若定解问题（若定解问题（1010）（）（1111）（）（1212）的解分别为）的解分别为，则，则是定解问题（是定解问题（9 9）的解）的解41对波算子定解问题（对波算子定解问题（9 9），自由项），自由项f f是有限和，如果是级数，就有是有限和，如果是级数，就有叠加原理叠加原理3 3 定解问题（定解问题（9 9），设），设如果对每个如果对每个是如下问题的解是如下问题的解则则是定解问题（是定解问题（9 9）的解。）的解。42弦振动方程混合问题中，不是齐次边界条件的波算子定解问题弦振动方程混合问题中，不是齐次边界条件的波算子定解问题介绍边界条件的齐次化问题，即将介绍边界条件的齐次化问题，即将 化为零。化为零。第一步，选取第一步，选取满足满足 最简单的是取最简单的是取第二步，令第二步，令。则有。则有为齐次边界条件，定解问题（为齐次边
