《中国海洋大学寿险精算讲义[6]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中国海洋大学寿险精算讲义[6]（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章多元生命函数本章结构n多元生命函数简介n 连生状况n最后生存状况n生命模型n人寿保险与生存年金n在特殊死亡律假定下求值本章中英文单词对照n多元生命函数n连生状态n最后生存状态n共同震动n继承年金nMultiple life functionnJoint-life statusnLast-survivor statusnCommon shocknReversionary annuities第一节多重生命函数简介多重生命函数的定义及作用n多元生命函数的定义：涉及多个生命剩 余寿命的函数。n作用n养老金给付场合n合伙人联保场合n遗产税计算场合多元剩余寿命的联合分布n联合密度函数n联合分布函数多
2、元剩余寿命的联合分布n边际生存函数第二节多元生命状况连生状况n连生状况定义：n当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。当有 一个成员死亡时，连生状况就结束了。简记连生状 况为：n连生状况剩余寿命等于：n连生状况剩余寿命的性质：求连生状况的剩余寿命 实质上就是m个生命的最小次序统计量两个体连生状况的生命函数n分布函数n生存函数两个体连生状况的生命函数n密度函数n死亡效力函数两个体连生状况的生命函数n两独立个体至少有一个在第K年死亡的概率n连生状况整值剩余寿命为k的概率两个体连生状态的生命函数n剩余寿命期望最后生存状况n最后生存状况定义：n只要有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况 。只有当所有
3、成员都死亡时，最后生命状况才算结 束。简记为：n最后生存状况的剩余寿命等于：n最后生存状况的剩余寿命的性质：最后生存状况的 剩余寿命实际上就是m个生命的剩余寿命的最大次 序统计量多元生存状况剩余寿命的关系n n n n 两个体最后生存状况的生命函数n分布函数等价公式两个体最后生存状况的生命函数n生存函数等价公式两个体最后生存状况的生命函数n密度函数等价公式两个体最后生存状况的生命函数n死亡效力函数两个体最后生存状况的生命函数n最后生存状况整值剩余寿命为k的概率n等价公式两个体最后生存状态的生命函数n剩余寿命期望例1：n假定（60）和（65）服从Moivre 生存模 型，n计算例1答案例1答案例
4、2n假定：n不抽烟的人的死亡力是同年龄抽烟的人的死 亡力的一半。n不抽烟的人数满足如下方程n有一对夫妻丈夫（65）不抽烟，妻子（55） 抽烟，求他们还能共同生活的期望时间。例2答案联合生命状况剩余寿命协方差分析第三节联合生命模型简介n联合生命模型分为两类：nCommon Skhoc 模型：它假定个体之间的剩 余寿命随机变量相互独立的模型。这种模型 假定有时与现实情况不符，但易于分析。nCopulas模型：它假定个体之间的剩余寿命 随机变量不独立的模型。这种模型假定更符 合实际情况，但不易于分析。Common Shock 模型如果有 满足 且有一个Common Shock 随机变量Z，它独立于,
5、且服从指数生存函数令 则联合生命状况分析 n记n边际生存函数为 n连生状况剩余寿命生存函数为 n最后生存状况剩余寿命生存函数为 第四节人寿保险与生存年金 寿险趸缴纯保费的确定原理联合生命状况下寿险趸缴保费的确定n连生状况n最后生存状况联合生命状况下生存年金的确定n原理n连生状况n最后生存状况连生状况和最后死亡状况的关系例3n例1续，假定n计算例3答案（1）例3答案（2）单重次顺位函数n 在n年之内，(x) 先于(y)死亡单重次顺位函数n 在n年之内， (y) 后于(x)死亡n 顺位保险例4n例1续n求例5n假定有一(20)岁女性，一(50)岁男性n已知n求两者中第一个死亡者的期望寿命例5答案例
6、4答案（1）例4答案（2）继承年金 (reversionary annuities)n继承年金的定义：在联合生命状态中，只有在 其中一个生命（v）死亡之后，另一个生命（u ）才能开始获得年金。这种年金叫做继承年金 ，简记为 。n终身继承年金n定期继承年金第五节特殊死亡律假定下求值Gomperz假定下 n目的：寻找能替代连生状态的单个生命 状态w，即n已知在Gomperz假定下有 ，则在 两生命独立假定下有n由这个等式可求出w，于是Makeham假定下 n由于Makeham假定的死亡效力函数含有常数项 ，所以无法用单个生命状态替换连生状态，但 是可以考虑用两个同年龄的连生状态（w，w ）作替换，
7、即n已知在Makeham假定下有 ，则在两生 命独立假定下有n由这个等式可求出，于是 例6n假定生命表服从Makeham分布n且多元生命状态20:30可以被W:W代替。n假定多元生命状态10:W可以被Z:Z代替n求Z.例6答案均匀分布假定n在均匀分布假定下，趸缴纯保费和生存 年金具有单生命状态下近似的性质补充案例1n假定有一20岁的女性和一50岁的男性。 已知n求第一个死亡的期望年龄。补充案例2n求（10）和（20）都能活到他们目前年龄的两倍 且至少有一个能活到他目前年龄的3倍的概率。补充案例3n求（25）和（45）死亡间隔在10年内的 概率。补充案例4n确定该年金产品的现时值n（X）和（Y）都存活时给付1n（X）死亡后降到1/3n（Y）死亡后降到1/4n已知
