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1、数值分析4 Newton迭代格式 Newton迭代法的收敛性 Newton迭代法的变形 数值实验练习题设 x*是方程 f(x)=0 的根, x0是x*的近似值. 在 x0 附近,有x1比x0更接近于x* x0x1x*f(x) = 0 2/18(n = 0, 1, 2, )牛顿迭代格式给定初值 x0 , 迭代产生数列 x0, x1, x2, xn, 应用求正数平方根算法设C 0,x2 C = 0令 f(x) = x2 C , 则 思考:用牛顿迭代法求C的倒数(不用除法)3/18例1 平方根算法 (n =0, 1, ) 的收敛性证明及收敛阶估计. 牛顿迭代法计算格式化简,得解: 对n0, 当 xn
2、 0时4/18(n =0, 1, )( n 0)数列 xn 单减有下界, 故必有极限. 设为x*,对递推式取极限, 有5/18由此可知, 平方根迭代 是 2 阶收敛. 6/18Newton迭代法的局部收敛性 定理2.7 设 f(x) 在点x*的某邻域内具有二阶连 续导数,且设 f(x*)=0, f (x*) 0, 则对充分靠近 点x*的初值x0, Newton迭代法至少平方收敛.所以, Newton迭代法至少平方收敛7/18例2.求 f(x)=xex 1= 0 在 x0=0.5 附近的根 解: 迭代格式为(n = 0, 1, )f=inline(x*exp(x)-1); f1=inline(x
3、+1)*exp(x); x0=1.5;er=1;k=0; while er0.00001x=x0-f(x0)/f1(x0);er=abs(x-x0)x0=x;k=k+1 endx = 0.5671k=6 er=4.3596e-0098/18缺陷 1.被零除错误2.程序死循环y = arctan x方程: f(x)=x3 3x + 2 = 0在重根x*=1附近,f(x)近 似为零对 f(x) = arctan x存在 x0,Newton迭代 法陷入死循环9/18Newton迭代法陷入死循环的另一个例子取 x0=0,(n = 0, 1, )10/18f0 f0, f”0 f0, f” 0。12/1
4、813/18设x*是方程 f(x)=0 的根, x0和x1是x*附近 的两个点. Newton迭代法的变形弦截法曲线 y=f(x) 在点(x0, f(x0)和点 (x1,f(x1)处的 割线与X轴交点f(x) = 0 14/18( n =1,2, ) 例2.8确定悬链线方程 已知 y(50)=y(0)+10求解方程: a=126.632415/18f=inline(u.*cosh(50/u)-u- 10); a0=120;a=150;k=1; y0=f(a0);y=f(a); while abs(a0-a)0.0001t=a-y*(a-a0)/(y-y0);a0=a;y0=y;a=t;y=f(
5、a);k=k+1; end AnsK=6, a=126.6324f=inline(u.*cosh(50/u)-u-10); f1=inline(cosh(50/u)- 50*sinh(50/u)/u-1); a0=150;y0=f(a0); k=1;er=1; while er0.0001t=a0-f(a0)/f1(a0);er=abs(t-a0);a0=t;k=k+1; endAnsK=6, t=126.6324割线法:切线法:16/18牛顿迭代法的收敛域问题: 用牛顿迭代法求解复数方程 z3 1 = 0，该方程在复 平面上三个根分别是z1 = 1选择中心位于坐标原点，边长 为2的正方形内的任意点作初始 值，进行迭代，把收敛到三个 根的初值分为三类，并分别标 上不同颜色（例如红、黄、蓝 ）。对充分多的初始点进行实 验，绘出牛顿迭代法对该方程 的收敛域彩色图。 17/18
