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1、引 言关于冲刺班的几个问题 1.冲刺班还需要大量做题吗？ 复习高等数学，做题是非常重要的，但是在冲刺班的时候应当更加注意的是对考 试题型的整体把握。在此之前，大家已经做了不少的题目了，对基本知识以及解题技 巧的掌握已经有了较扎实的基础。那么接下来就不一定非要每天做大量的习题了，这 样只是一些重复性过度学习，甚至会偏离考试重点。 2.冲刺班上课的大致内容和形式是什么样的？在冲刺班中，我们基本上每次上课是以专题的形式展现考试中的重点内容，更加 接近考试，基本上可以分为三个部分：基本概念、计算、综合证明。 3.冲刺班分几个阶段进行复习？ 究竟如何分阶段复习是因人而异的，每个同学可以结合自己的实际情况
2、制定学习 计划，大致可以分为三个阶段：首先是根据考试提纲把所有的知识点再过滤一遍，要 突出重点和自己薄弱的环节；其次是做题，这里要注意两点，一是题目不必过多，提 高强化班的习题加上历年试题就足够了，二是此时做题应与以往有所不同，要做到认 真细致，不可马虎，不管是求导还是求积分都要认真做到最后一步，从而不断加强计 算能力，还要注意解题步骤的标准与完整；三是回归到书本，把基本概念吃透，放松 心情，沉着应对考试。上述三个阶段可以交叉进行，根据自身情况而定。 4.如何正确利用历年试题？ 对于历年试题，同学们首先不要过多的在意试题答案，而是先熟悉题型、题量以 及分值等等，做到心中有数。通过研究真题，我们
3、可以对试卷中知识点分布了如指掌， 这样再复习起来就很容易突出重难点了。真题可以平时一遍做一遍研究，不要等到临 近考试的时候再初次接触它，那样就得不偿失了。05 年-10 年的试卷是我们研究的重点， 尤其是 09 和 10 年的试卷，这两年更加注重了综合题的考查。 5.如何正确使用辅导班发的教材？冲刺班中又发了一本教材，其页数几乎和基础班教材差不多，从某种意义上来说， 对于很多同学无形中反而增加了负担。那么，在冲刺班阶段，我们该如何利用好手中 的分别关于基础班、提高强化班以及冲刺班的教材呢？对于绝大多数同学而言，在基础班阶段已经对教材有了比较全面的了解和掌握了， 基础班的教材罗列了几乎所有高等数
4、学中的基本知识点，对于书上的例题同学们只要 看懂即可，书后的习题只要把选择、填空以及一些基本的计算题做好就可以了；提高 强化班的教材以习题为主，在所有的教材中，它里面的习题是最接近于考试真题的， 没有超纲的内容，所以有必要把其中所有的题目都要认真做一遍；冲刺班的教材和基 础班的教材比较类似，但又有所区别，它更加注重于解题方法和技巧的总结，更注重 于考试题型的总结。然而同学们时间是有限的，如果把冲刺班的教材认真地从头到尾地再搞一遍，几 乎是不现实的，也是没有必要的。我们这里总结一下：把基础班和冲刺班的教材作为 工具书，遇到典型的习题，可以去书中查找它们的解题方法和技巧，对于书上的例题 不用太过仔
5、细的学习，走马观花式的复习，只有当遇到自己薄弱的环节再认真去复习； 对于课后的习题也不用全部都做，甚至可以不做。而对于提高强化班教材中的习题一 定要认真去做，不可遗漏，因为它们最接近真题。综上所述就是基础冲刺当工具，提 高强化做习题。这样就大大减轻了同学们的负担又突出了重点。目 录 第一部分基本概念 1.一元函数微积分； 2.多元函数微积分； 3.空间向量和解析几何、级数以及微分方程 第二部分计算 第三部分综合应用及证明 第四部分查缺补漏 第五部分模拟试题讲解及考试注意事项第一部分 基本概念考点分析：考点分析：基本概念在考试中往往都是以选择题或填空题的形式出现的，而且都是以一些 简单计算来考查
6、的。基本概念是我们学习高等数学的基础，是在长时间的做题过程中慢慢 积累起来的，然而也正是因为长时间的做题，很多同学偏重于大的计算题以及综合题的求 解，以至于造成忽略或遗忘了一些最基本的概念，这样就会在考试中出现在选择题和填空 题中耽误大量的时间，甚至是失去分数。因此，我们有必要对基本概念加以足够地重视， 尤其是一些容易被忽略却在考试中经常出现的有关基本概念的简单计算题多加练习和掌握。 下面我们主要搜集一些在平时复习过程中容易被忽略的高等数学的基本概念。考点分布考点分布：1.一元函数微积分； 2.多元函数微积分； 3.空间向量和解析几何、级数以及微分方程一元函数微积分一元函数微积分一、一、函数的
7、基本概念函数的基本概念函数的概念在数学中的地位是很重要的，因为无论什么知识点都是围绕着函数展 开讨论的。其基本概念包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期、有界性、图像、 函数解析式等等。在历年的考试中，纯粹针对函数基本概念的考查并不多，主要集中 在定义域、奇偶性、有界性以及函数解析式等方面。 1.1.函数的定义域函数的定义域 表示方法表示方法：集合（描述法）或区间；例如a,b、x|x 所满足的条件 1.1.1 一般常见函数的定义域的解法：一般常见函数的定义域的解法：;（为偶数）为偶数）;1( )0( )f xf x( )( )0f xf x( )( )0nf xf xn;log( ),lg(
8、 ),ln( )( )0af xf xf xf x;tan,sec2xxkkzxcot,cscxxkkzx;arcsin 1,1arccosxxx 1.1.2 定义域是一切实数的一般有：定义域是一切实数的一般有：sincosarctanarccotxxxxxe 例例 1.1.1 函数241ln3ln(23)xxyx解：一般来说，求一个函数的定义域往往有很多要求需要同时满足，这个时候求的是它们 的交集。;ln(23)02312xxx ;32302xx;22 244ln014301333xxxxxxx 注：这里本来还需要求，但是由上一步可知已经要求了，所以就2403xx2413xx不再求解了240
9、3xx综上所述，定义域应满足，求它们的交集得定义域为23 2 13xxx 3( ,2)2,32函数的值域一般并不直接考查，但是要对一些基本初等函数的值域做到熟练掌握，这 样在求极限或证明不等式的时候可能会用到。;1sin1, 1cos1,tan,cotxxxx ;arcsin,0arccos,arctan,0arccot2222xxxx0,lnxex (注:有时候还需要知道函数经过点，函数经过点)xye(0,1)lnyx(1,0)2.2.函数的奇偶性函数的奇偶性 函数的奇偶性一般不会单独出题，但是在定积分与二重积分的化简计算中需要对被积 函数的奇偶性做出判断，这就需要对函数的奇偶性做到熟练掌握
10、。 1.2.1 常见初等函数的奇偶性：常见初等函数的奇偶性：都是奇函数;都是偶函数；sin ,tan ,cot ,cscxxxxcos ,secxx都是奇函数；arcsin ,arctanxx,为奇数时为奇函数，为偶数时为偶函数;,nxnZnn,为奇数时为奇函数，为偶数时是非奇非偶函数;1 ,nxnZnn1.2.2 一些特殊函数的奇偶性：一些特殊函数的奇偶性：都是奇函数;211ln,ln,ln( 1)11xxxxxx，若函数之前为奇函数，即对称中心为原点，则为偶函数;例如：( )yf x( )f xy等等,sin,arctanyx yx yx1.2.3 一些构造的抽象函数的奇偶性：一些构造的抽
11、象函数的奇偶性：为奇函数, 为偶函数;( )()f xfx( )()f xfx1.2.4 函数奇偶性的运算性质：函数奇偶性的运算性质： 奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇+偶=非奇非偶，奇+常数=非奇非偶，偶+常数=偶; 奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇; 奇或偶的倒数不改变奇偶性；奇或偶乘以一个常数不改变奇偶性； 奇的导=偶，偶的导=奇；=奇，则一定为偶函数; ( )f x ( )f x=偶，则不一定为奇函数(也可能是非奇非偶);例如： ( )f x ( )f x(sin)cosxCx1.2.5 关于复合函数的奇偶性：关于复合函数的奇偶性： 内层是奇，则整体奇偶性与外层相同； 例如：为偶函数，为奇函数，
12、2sin,cos(sin )xx3tan,sin(tan )xx内层是偶，则函数一定为偶函数;例如：都是偶函数23cos,cos,sin(cos ),tan(sec )xxxx关于函数奇偶性的两点注意： 函数要具备奇偶性首先必须满足定义域关于原点对称； 某些由加或减组成的初等函数“分开”之后可以讨论它的奇偶性，这点在定积分和二 重积分的化简计算中经常使用；例例 1.2.1(2002 年第 7 题)已知在内是可导函数，则一定是( )f x(,) ( ( )()f xfx A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 不能确定奇偶性的函数为奇函数，它的导数一定为偶函数，显然答案选 B( )
13、()f xfx例例 1.2.2(2004 年第 1 题) 函数是（ ）33, 3,0( ),(0,2xxf xxx A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数 分段函数的定义域是，不关于原点对称，所以不可能具有奇偶性；整个函数( )f x 3,2的最大值为 0，最小值为-27，因此函数是一个有界函数。( )f x例例 1.2.3(2008 年第 1 题) 设函数在上有定义，下列函数中必为奇函数的是（ ( )f x(,) ）A B C D ( )yf x 34()yx f x()yfx ( )()yf xfx答案显然选择 B，因为是奇，为偶（内层是偶一定为偶） ，所以为奇函3x4()f
14、x34()x f x数。 3.3.函数的表达式（解析式）函数的表达式（解析式） 求函数的表达式常用的方法有三种：直接代入法、换元法以及凑元法，这些在基础班 的教材中都有很详细的讲解，此处不再叙述。在历年的试题中，往往并不是纯粹地考查求 解函数的表达式，使用的方法也非上述三种方法，譬如微分方程的解本身就是求函数（表 达式） ，还有一些综合题中函数并不直接给出，而是通过用上述三种方法或解微分方程来或 利用求导与求积分之间的互逆关系等等间接得到函数的表达式。 例如：(2001 年第 19 题)已知曲线经过原点，并且在原点的切线平行于直线( )yf x，若，且在处取得极值，试确定的值，并230xy2(
15、 )3fxaxb( )f x1x , a b求出函数的表达式。( )yf x(2004 年第 22 题) 设函数可导，且满足方程，求。( )f x20( )1( )xtf t dtxf x ( )f x(2005 年第 22 题) 设函数的图形上有一拐点 P（2，4） ，在拐点 P 处曲线的切线斜率为3，又知该函数的二阶导数求此函数。6,yxa (2006 年第 22 题) 已知曲线过原点且在点（x,y）处的切线斜率等于 2x+y，求此曲( )yf x线方程。(20010 年第 24 题) 设函数满足方程，且，记由曲线( )f x( )( )2xfxf xe(0)2f与直线及 y 轴所围平面图形的面积为，试求( )( )fxyf x1,(0)yxt t( )A tlim( ) tA t 这些例题都是综合题中的，我们将在后面的章节中给予讲解。 4.4.基本初等函数的图像基本初等函数的图像 熟练掌握基本初等函数的图像时非常重要的，在求极限、定积分的应用以及二重积分 的计算（需要画图）等方面都有必要对函数的图像熟练掌握。 （参见附件基本初等函数 的图像）二、二、函数极限与连续性的基本概念函数极限与连续性的基本概念1.1.函数极
