《2012高考数学争分夺秒15天8平面向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012高考数学争分夺秒15天8平面向量（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、分享 互助 传播平面向量平面向量一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向 量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用 黑体表示向量，如 a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任 意的。零向量和零不同，模为 1 的向量称为单位向量。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量） ，规定零向量与任意一个非零向 量平行和结合律。 定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足 交换律和结合律。定理 2 非零向量 a, b 共线的充
2、要条件是存在实数0，使得 a=. bf 定理 3 平面向量的基本定理，若平面内的向量 a, b 不共线，则对同一平面内任意向是 c， 存在唯一一对实数 x, y，使得 c=xa+yb，其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为 基底，任取一个向量 c，由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y，使得 c=xi+yi，则（x, y） 叫做 c 坐标。定义 4 向量的数量积，若非零向量 a, b 的夹角为，则 a, b 的数量积记作 ab=|a|b|cos=|a|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做 b 在
3、 a 上的投影 （注：投影可能为负值） 。 定理 4 平面向量的坐标运算：若 a=(x1, y1), b=(x2, y2)， 1a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)， 2a=(x1, y1), a(b+c)=ab+ac，3ab=x1x2+y1y2, cos(a, b)=2 22 22 12 12121 yxyxyyxx(a, b0),4. a/bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1，p2 的一点，则存在唯一实数 ，使21PPPP， 叫 P 分21PP所成的比，若 O 为平面内任意一点，则 1
4、21OPOPOP 。由此可得若P1，P，P2 的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则.1121212121yyyy xxxxyyyxxx 定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向，平移|a|=22kh 个单位得到图形F，这一过程叫做平移。设 p(x, y)是 F 上任意一点，平移分享 互助 传播到F上对应的点为) , ( yxp，则 kyyhxx 称为平移公式。定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |ab|a|b|，并且|a+b|a|+|b|.【证明】 因为|a|2|b|2-|a
5、b|2=)(2 22 22 12 1yxyx-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20，又|ab|0, |a|b|0， 所以|a|b|ab|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|. 注：本定理的两个结论均可推广。1）对 n 维向量，a=(x1, x2,xn)，b=(y1, y2, , yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为柯西不等式：)(22 22 122 22 1nnyyyxxxLL(x1y1+x2y2+xnyn)20，又|ab|0, |a|b|0， 所以|a|b|ab|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|. 注：本定理的两
6、个结论均可推广。1）对 n 维向量，a=(x1, x2,xn), b=(y1, y2, , yn)， 同样有|ab|a|b|，化简即为柯西不等式：)(22 22 122 22 1nnyyyxxxLL(x1y1+x2y2+xnyn)2。2）对于任意 n 个向量，a1, a2, ,an，有| a1, a2, ,an| a1|+|a2|+|an|。 二、方向与例题 1向量定义和运算法则的运用。例 1 设 O 是正 n 边形 A1A2An 的中心，求证：.21OOAOAOAnL【证明】 记nOAOAOASL21，若OS ，则将正 n 边形绕中心 O 旋转n2后与原正 n 边形重合，所以S不变，这不可能
7、，所以.OS 例 2 给定ABC，求证：G 是ABC 重心的充要条件是.OGCGBGA【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为 D，E，F，延长 AD 至 P，使 DP=GD，则.2GPGDAG又因为 BC 与 GP 互相平分，所以 BPCG 为平行四边形，所以 BG/PC，所以.CPGB 所以.OPGCPGCGCGBGA充分性。若OGCGBGA，延长 AG 交 BC 于 D，使 GP=AG，连结 CP，则.PGGA 因为OPCPGGC，则PCGB ，所以 GB/CP，所以 AG 平分 BC。同理 BG 平分 CA。分享 互助 传播所以 G 为重心。 例 3 在凸四边形 ABCD 中，P 和
8、 Q 分别为对角线 BD 和 AC 的中点，求证： AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【证明】 如图所示，结结 BQ，QD。因为DQPQDPBQPQBP,，所以2222)()(PQDPPQBPDQBQ=BPPQDPBP22222PQDPPQ 2=.2)(22222222PQDPBPPQDPBPPQDPBP又因为,OQCQABAQABQBCQCBQ同理 222222BQQCQABCBA， 222222QDQCQADACD， 由，可得)(24222222QDBQQACDBCBA2222224)22(2PQBDACPQBPAC。得证。 2证利用定理 2 证明共线。 例 4
9、ABC 外心为 O，垂心为 H，重心为 G。求证：O，G，H 为共线，且 OG：GH=1：2。【证明】 首先AMOAAGOAOG32=)2(31)(31OCOBAOOAACABOA).(31OCOBOA其次设 BO 交外接圆于另一点 E，则连结 CE 后得 CE.BC又 AHBC，所以 AH/CE。 又 EAAB，CHAB，所以 AHCE 为平行四边形。所以,ECAH 所以OCOBOAOCEOOAECOAAHOAOH，所以OGOH3，所以OG与OH共线，所以 O，G，H 共线。所以 OG：GH=1：2。分享 互助 传播3利用数量积证明垂直。 例 5 给定非零向量 a, b. 求证：|a+b|=
10、|a-b|的充要条件是 ab. 【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab=0ab. 例 6 已知ABC 内接于O，AB=AC，D 为 AB 中点，E 为ACD 重心。求证：OECD。【证明】 设cOCbOBaOA,，则)(21baOD ，.61 21 31)(21 31bacbacaOE 又cbaCD)(21，所以 cbabcaCDOE21 21 61 31 21cabacba31 31 31 121 4122231 a(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）又因为 AB=AC，OB=OC，所以 OA 为 BC 的
11、中垂线。 所以 a(b-c)=0. 所以 OECD。 4向量的坐标运算。 例 7 已知四边形 ABCD 是正方形，BE/AC，AC=CE，EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F，求证： AF=AE。 【证明】 如图所示，以 CD 所在的直线为 x 轴，以 C 为原点建立直角坐标系，设正方形边长为 1，则 A，B 坐标分别为（-1，1）和（0，1） ，设 E 点的坐标为（x, y） ，则BE=(x, y-1), ) 1, 1 ( AC，因为ACBE /，所以-x-(y-1)=0.又因为|ACCE ，所以 x2+y2=2.由，解得.231,231yx所以. 324| ,231,2332 AEAE
12、设) 1 , (xF，则) 1 , (xCF 。由CF和CE共线得. 分享 互助 传播所以)32(x，即 F) 1 , 32(，所以2| AF=4+2|32AE，所以 AF=AE。三、基础训练题 1以下命题中正确的是_. a=b 的充要条件是|a|=|b|，且 a/b；(ab)c=(ac)b；若 ab=ac，则 b=c；若 a, b 不共线，则xa+yb=ma+nb 的充要条件是 x=m, y=n；若bCDaAB ,，且 a, b 共线，则 A，B，C，D共线；a=(8, 1)在 b=(-3, 4)上的投影为-4。2已知正六边形 ABCDEF，在下列表达式中：ECCDBC；DCBC 2； ED
13、FE ；FAED 2与AC，相等的有_.3已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, ab=0，则|x|+|y|=_. 4设 s, t 为非零实数，a, b 为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则 a 和 b 的夹角为_.5已知 a, b 不共线，MN=a+kb, MP=la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P 共线”的_条件.6在ABC 中，M 是 AC 中点，N 是 AB 的三等分点，且NABN2，BM 与 CN 交于 D，若BMBD，则 =_.7已知OBOA,不共线，点 C 分AB所成的比为 2，OBOAOC，则_.8已知OBaOA,=b, ab=|a-b|=2
14、，当AOB 面积最大时，a 与 b 的夹角为_.9把函数 y=2x2-4x+5 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x2 的图象，c=(1, -1), 若ba ， cb=4，则 b 的坐标为_.10将向量 a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转4得到向量 b，则 b 的坐标为_.11在 RtBAC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，试问PQ与BC的夹角取何值时CQBP的值最大？并求出这个最大值。12在四边形 ABCD 中，dDAcCDbBCaAB,，如果 ab=bc=cd=da，试判断四边形 ABCD 的形状。 四、高考水平训练题分享 互助 传播1点 O 是平面上一定点，A，B，C 是此平面上不共线的三个点，动点 P 满足., 0, | ACACABABOAOP则点 P 的轨迹一定通过
