工程力学静力(4)

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1、工程力学课件 工程力学课件 第四章 平面一般力系前面研究了平面汇交力系和平面力偶系的合成与平衡问题 。本章将在此基础上，研究平面一般力系的简化与平衡问题。本章重点： 1、力线平移定理 2、平面一般力系的简化 3、平面一般力系的平衡方程 4、平面桁架内力的计算方法如果作用在物体上诸力的作用线都分布在同一平面内， 既不汇交于同一点，也不完全平行，这种力系称为平面一般 力系(简称平面力系)。工程力学课件 4-1 工程中的平面一般力系问题如图所示的房架和悬臂吊车的横梁其上所受的力都在同一 平面上，所以都是平面一般力系的问题房架悬臂吊车工程力学课件 如物体结构所承受的载荷和支承都具有同一个对称面，则作

2、用在物体上的力系就可以简化为在对称平面内的平面力系。 例如高炉上料车的受力情况。平面一般力系是工程上最常见的力系。很多实际问题都可 简化成为平面一般力系问题来处理。因此，研究平面力系就显 得非常重要。工程力学课件 4-2 力线平移定理力线平移定理是平面力系向一点简化的依据，在本节中首先 介绍这个定理。定理：作用在刚体上的力F可以平行移动到刚体内任一点， 但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对平移点之矩。 证明：工程力学课件 力线平移定理不仅是力系简化的依据，而且也是分析力对 物体作用效应的一个重要方法。 例如，如图所示的转轴上大齿轮受到圆周力F的作用。为了 观察力F对转轴的效应，需将力F

3、向轴心O点平移。根据力线平 移定理，力F平移到轴心O点时，要附加一个力偶。设齿轮的节 圆半径为r，则附加力偶矩为由此可见，力F对转轴的作用，相当于在轴上作用一个水平 力F和一个力偶。这力偶作用在垂直于轴线的平面内，它与轴 端输入的力偶使轴产生“扭转”，而力F则使轴产生“弯曲”。工程力学课件 4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩研究平面一般力系的简化时，可以连续应用力的平行四边 形法则，将力依次合成。但是应用这种方法，极为繁琐，实际 意义不大。为此，采用另一种方法，即根据力线平移定理，将 力系向某点简化。这个方法的实质在于将一个平面力系分解为 两个力系：平面汇交力系和平面力偶系。然后，再将

4、这两个力 系进行合成。工程力学课件 合力的作用点通过O，其矢量为合力偶的力偶矩MO为矢量FR称为原力系的主矢。它是原力系各力的矢量和。 MO称为原力系的主矩。 它等于原力系中各力对O点之矩的代数和 工程力学课件 综上所述，可得出如下结论：平面力系向作用面内任一点 O简化（该点称为简化中心），可得一个力和一个力偶。这个 力作用于简化中心，其矢量等于该力系的主矢：这个力偶矩等于该力系对O点的主矩：应该注意，力系的主矢FR只是原力系中各力的矢量和，所 以它与简化中心的选择无关。而力系对于简化中心的主矩MO显 然与简化中心的选择有关，选择不同的点为简化中心时，各力 的力臂一般将要改变，因而各力对简化中

5、心之矩也将随之改变 。工程力学课件 主矢的大小主矢的方向现在讨论主矢FR的解析求法。通过O点作直角坐标系oxy( 图c)。根据合力投影定理，得到:工程力学课件 4-4 简化结果的分析 合力矩定理若FR=0，Mo0，则原力系简化为一个力偶，力偶矩等于原力系对于 简化中心的主矩。在这种情况下，简化结果与简化中心的选择无关。这就是 说，不论向哪一点简化都是这个力偶，而且力偶矩保持不变。根据以上所述，平面力系向一点简化，可得一个主矢FR和一个主矩Mo若FR 0，Mo=0，则FR即为原力系的合力FR，通过简化中心。 若FR 0，Mo0，则力系仍然可以简化为一个合力FR。合力FR等于原 力系的主矢FR，合

6、力FR 的作用线位置离O点的距离d=Mo/FR=Mo/FR,至于合 力的作用线在O点的那一侧，则由主矩Mo的符号决定。工程力学课件 合力矩定理 当平面力系可以合成为一个合力时，则其合力 对于作用面内任一点之矩，等于力系中各分力对于同一点之矩 的代数和。证明 由图c易见，合力FR对O点之矩为由图b可见：故因为所以由于简化中心O是任选的，因此上述定理适用于任一力矩中 心。利用这一定理可以求出合力作用线的位置，以及用分力矩 来计算合力矩等。工程力学课件 例4-l 水平梁AB受三角形分布载荷的作用如图，分布载荷的最大值为 q(N/m)，梁长l。试求合力的大小及其作用线位置。解：本题属于平面内同向平行力

7、的合成 问题，其合力F的方向与诸分力相同。 取梁的A端为原点，在x处取微分小段dx ，作用在此段的分布力为以qx，根据几何关 系有在dx长度上的合力的大小为qxdx。故此分布力合力F的大小，可 用以下积分求出：工程力学课件 作用在微分小段dx上的合力对A点的力矩 为xqxdx。全部分布力对A点之矩的代数和可 用如下积分求出：根据合力矩定理得故由此可知： (1)合力F的方向与分布力相同； (2)合力F的大小等于由分布载荷组成的几何图形的面积； (3)合力F的作用线通过由分布载荷组成的几何图形的形状中心(即 形心)。工程力学课件 例4-2 作用在物体上的力系如图a所示。已知 F1=1kN，F2=1

8、kN，F3=2 kN，M=4 kNm，=30， 图中长度单位为m。试求力系向O点简化的初步结 果以及力系最终简化结果。解：本题属于平面一般力系简化问题(1)先求力系向O点简化的初步结果：主矢的大小主矢的方向工程力学课件 主矩Mo为(2)再求力系最终简化结果: 由于主矢FR0，Mo0，故力系最终简化结果 为一合力FR，FR的大小和方向与主矢FR相同。合 力FR的作用线距O点的距离为dMo为正值，表示主矩绕O点逆时针转动，合力 FR的作用线如图c所示。工程力学课件 4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程由平面一般力系的简化结果可以看出，当主矢FR和主矩 MO中任一个不等于零时，力系是不平衡的。因

9、此，要使平面力 系平衡，就必有FR=0， MO=0。反之，若FR=0， MO=0，则力 系必须平衡。所以物体在平面一般力系作用下平衡的必要和充 分条件是力系的主矢FR=0和力系对任一点O的主矩 MO=0。即上式是平面一般力系平衡的解析条件，称为平面一般力系 的平衡方程，它是平衡方程的基本形式。 在应用平衡方程解平衡问题时，为了使计算简化，通常将 矩心选在两个未知力的交点上，而坐标轴则尽可能与该力系 中多数未知力的作用线垂直。工程力学课件 例4-3 水平外伸梁如图a所示。若均布载荷q=20kN/m，F1=20kN，力偶 矩M=16 kNm，a=0.8 m，求A、B点的约束反力。解：(1)选梁为研

10、究对象，画 出受力图(图b)。作用于梁上的力 有F1、均布载荷q的合力F2(F2=qa ，作用在分布载荷区段的中点)、 矩为M的力偶和支座反力FAx、FAy 及FB。显然它们是一个平面力系。 取坐标轴如图b所示。(2)列平面一般力系平衡方程解方程得：工程力学课件 例4-4 悬臂吊车如图a所示。横梁AB长l=2.5m， 重量P=1.2kN。拉杆CB倾斜角=30，质量不计 。载荷F=7.5kN。求图示位置a=2 m时，拉杆的 拉力和铰链A的约束反力。解： (1)选横梁AB为研究对象。(2)画受力图 (3)列平衡方程，求未知量 选坐标系如图b 所示，运用平面力系的平衡方程，得：解得：工程力学课件 本

11、例中如写出对A、B两点的力矩方程和对x 轴的投影方程，同样可以求解。即解得：(4)分析讨论 从上面的计算看出，杆CB所 承受的拉力和铰链A的约束反力，是随载荷的位 置不同而改变的，因此应当根据这些力的最大 值来进行设计。工程力学课件 同样，如写出对A、B、C三点的力矩方程， 也可以求解。即解得：工程力学课件 由例4-4的求解过程可知，平面一般力系平衡方程除了前面所介绍的基 本形式外，还有其他形式，即还有二力矩式和三力矩式，其形式如下：二力矩形式其中A、B两点的连线不能与x轴(或y轴)垂直。三力矩形式其中A、B、C三点不能选在同一直线上。如不满足上述条件，则所列三个平衡方程，将不都是独立的。 应

12、该注意，不论选用哪一组形式的平衡方程，对于同一个平面力系 来说，最多只能列出三个独立的方程，因而只能求出三个未知量。工程力学课件 例4-5 高炉上料小车如图所示。设=60，AB=2400mm ,HC=800 mm ，AH=1300mm，P=325kN，钢丝绳与轨道平行，不计车轮与轨道之 间的摩擦，试求上料小车等速运行时钢丝绳的拉力FT及轨道对车轮 的约束反力FA和FB。解：(1)选上料小车为研究对象，画上料小车的受力图(2)选坐标轴如图所示，列平衡方程解得：工程力学课件 例4-6 如图a所示中的车刀固定在刀架上，已知l=60mm，切削力 Fy=18 kN，Fx=7.2kN,求固定端A的约束反力

13、。解：(1)首先分析固定端A点的约束情况 。 所谓固定端约束，就是物体受约束的一 端既不能向任何方向移动，也不能转动。 例如，电线杆插人地面，工件用卡盘夹 紧固定，以及车刀固定在刀架上等，这些物 体所受的约束都是固定端约束(或插入端约 束)。 图b是固定端的简化表示法。这类约束 的约束反力是分布在接触面上的平面力系， 如图c所示。若将此力系向A点简化，则得到 一个约束反力FA(通常用两个互相垂直的分 力FAx、FAy表示)和一个反力偶矩MA(图d)。工程力学课件 (2)选AB为研究对象，画受力图(3)选坐标系如图所示，列平衡方程解得：FAx为负值，表示假设的指向与实际的指向相反。MA为负值，表

14、 示假设的转向与实际的转向相反，MA为顺时针转向。工程力学课件 4-6 平面平行力系的平衡方程在工程中还经常遇到平面平行力系问题。所谓平面平行力 系，就是各力的作用线都在同一平面内且互相平行的力系。平面平行力系是平面一般力系的 一种特殊情况。设物体受平面平行 力系F1，F1，Fn的作用。若取 Ox轴与诸力垂直，Oy轴与诸力平行 ，则不论平面平行力系是否平衡， 各力在x轴上的投影恒等于零，即 ，因此物体在平面平行力系作用下平衡的必要和充分条件是：力 系中各力在不与力作用线垂直的坐标轴上投影的代数和等于零 及各力对任一点之矩的代数和等于零。工程力学课件 其中A、B两点 连线不与诸力的作用线平行平面

15、平行力系的平衡方程也可用两个力矩方程的形式，即由此可见，平面平行力系只有两个独立平衡方程，因此最 多只能求出两个未知量。平面平行力系的平衡方程基本型式为：工程力学课件 例4-7 塔式起重机机架重为P，其作用线离右轨B的距离为e，轨距为b，最大 载重P1，离右轨的最大距离为l，平衡配重重力P2的作用线离左轨A的距离为 a(图a)。欲使起重机满载及空载时均不翻倒，试求平衡配重的重量P2。得解：(1)先研究满载时的情况。此 时，作用于起重机的力有：机架 重力P、重物重力P1，平衡配重重 力P2，钢轨反力FA和FB(图b)。若 起重机在满载时翻倒，将绕B顺时 针转动，而轮A离开钢轨，FA为零 。若使起

16、重机满载时不翻倒，必 须FA0。因故得此即满载时不翻倒的条件。工程力学课件 得(2)再研究满载时的情况。此时， 作用于起重机的力有：机架重力P 、重物重力P1=0，平衡配重重力 P2，钢轨反力FA和FB(图b)。若起 重机在空载时翻倒，将绕A逆时针 转动，而轮B离开钢轨，FB为零。 若使起重机空载时不翻倒，必须 FB0。因故得此即空载时不翻倒的条件。起重机不翻倒时，平衡配重P2应满足的条件为：工程力学课件 4-7 静定与静不定问题平面汇交力系 有两个独立平衡方程平面力偶系 有一个独立平衡方程平面任意力系 有三个独立平衡方程只能解两个未知量只能解一个未知量只能解三个未知量平面平行力系 有两个独立平衡方程只能解两个未知量因此，对每一种力系来说，能求解的未知量的数目也是有限制的。工程力学课件 未知量数目独立方程数目时，是静定问题（可求解） 未知量数目独立方程数目时，是静不定问题（超静定问题）工程力学课件 注意：