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1、第六章 方差分 析第一节 方差分析的基本原 理一、方差分析的意义u检验或t检验法适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验， 但在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题， 即需进行多个平均数间的差异显著性检验。这时，若仍采用t检验法就不适宜了。这是因为： 1、u或t 检验过程烦琐例如，一试验包含5个处理，采用t检验法要进行 =10次两两平均数的差异显著性检验；若有k个处理，则要作 = k(k-1)/2 次类似的检验。2、无统一的试验误差，误差估计的准 确性和检验的灵敏性低(1)t 检验要进行两两比较，每次仅用2个样本信 息估计总体方差，误差估计的准确性低(2) k个
2、处理平均值的自由度为k(n-1) ，而t 检验 查t值的自由度为2(n-1) ，从而降低了检验的 灵敏性两两比较合并均方：k 个样本合并均方：3、 t检验增大犯错误的概率t 检验时对具有不同秩次的平均数采用同一 个t ，会增大犯 错误的概率，降低推断的可 靠性。 2个平均数比较： = 0.055个平均数比较： = 1-(1-0.05)10= 0.401310个平均数比较：” = 1-(1-0.05)45= 0.9006因此，多个平均数的差异显著性检验 不宜用t (或u)检验，须采用方差分析法。方差分析方差分析 ( (analysis of varianceanalysis of varianc
3、e) )由英国统计学家 R.A.Fisher于1923年提出的。将多个样本 (处理)的观测值作为一个总体，用方差来表示变异，把引起事件总的变异分 解为各种因素的变异，并对每个因素引起的变 异作数量估计，从而说明各因素的变异幅度及 其在总变异中的重要程度；并用剩余变异无偏 估计随机误差，进而比较处理均值间的差异。有关术语：1、试验指标(experimental index) 为衡量试验 结果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体测定的性 状或观测的项目称为试验指标。由于试验目的不同，选 择的试验指标也不相同。在畜禽、水产试验中常用的试 验指标有：日增重、产仔数、产奶量、产蛋率、瘦肉率 、某些生理生
4、化和体型指标(如血糖含量、体高、体重)等 。 2、试验因素(experimental factor) 试验中所研 究的影响试验指标的因素叫试验因素。如研究如何提高 猪的日增重时，饲料的配方、猪的品种、饲养方式、环 境温湿度等都对日增重有影响，均可作为试验因素来考 虑。当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验 ；若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的影响 时，则称为两因素或多因素试验。试验因素常用大写字 母A、B、C、等表示。3、因素水平(level of factor) 试验因素所处的某种 特定状态或数量等级称为因素水平，简称水平。研究某种 饲料中4种不同能量水平对肥育牛瘦肉率的影响，
5、这4种特 定的能量水平就是饲料能量这一试验因素的4个水平。因素 水平用代表该因素的字母加添足标1，2，来表示。如 A1、A2、，B1、B2、，等。4、试验处理(treatment) 事先设计好的实施在试 验单位上的具体项目叫试验处理，简称处理。在单因素试 验中，实施在试验单位上的具体项目就是试验因素的某一 水平。例如进行饲料的比较试验时，实施在试验单位(某种 畜禽)上的具体项目就是喂饲某一种饲料。所以进行单因素 试验时，试验因素的一个水平就是一个处理。在多因素试 验中，实施在试验单位上的具体项目是各因素的某一水平 组合。例如进行3种饲料和3个品种对猪日增重影响的两因 素试验，整个试验共有33=
6、9个水平组合，在多因素试验 时，试验因素的一个水平组合就是一个处理。 5、试验单位(experimental unit) 在试验 中能接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验 单位。在畜禽、水产试验中，一只家禽、一头家 畜、一只小白鼠、一尾鱼，即一个动物；或几只 家禽、几头家畜、几只小白鼠、几尾鱼，即一组 动物都可作为试验单位。试验单位往往也是观测 数据的单位。 6、重复(repetition) 在试验中，将一个处 理实施在两个或两个以上的试验单位上，称为处 理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的 重复数。例如，用某种饲料喂4头猪，就说这个 处理(饲料)有4次重复。二、方差分析的基本原理1、
7、线性模型与基本假定假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n 次重复，共有nk个观测值。这类试验资料的 数据模式如表7.1所示。表7.1 k个处理每处理有n个观测值的数据模式处处理观观察值值(xij,i =1k ; j =1n)总总和 平均1x11x12 x1j x1nT1.2x21x22 x2j x2nT2. ixi1xi2 xij xinTi. kxk1xk2 xkj xknTk.Tx1.x2.xi.xk.x注：xij指第i个处理第j个观察值（i =1k ; j =1n）xij 可以分解为:其中:表示全试验观测值总体的平均数；i 是 第 i 个 处理的效应 （treatment effect
8、s）表示处理i 对试验结果产生的影响。显然有ij 是试验误差，相互独立，且服从 正态分布N（0，2）。（7-1）式叫做 单因素试验的线性模型，亦称数学模型。 在这个模型中xij表示为总平均数、处理效应 i、试验误差ij之和。(7-1)(7-2)由ij 相 互独立且服从正态分布 N（0，2 ）， 可知各处理i(i=1，2，k)所属总体亦应具正 态性，即服从正态分布N(i , 2 )。尽管各总体 的均数 i 可以不等或相等， 2则必须是相等的。所以，单因素试验的数学模型可归纳为： 效应的可加性(additivity)、分布的正态性 (normality)、方差的同质性(homogeneity)。这
9、也是进行其它类型方差分析的前提或基本假定 。若将表7.1中的观测值 xij（i=1,2,k; j=1,2,n） 的数据结构（模型）用样本符号来表示，则(7-3)（7-1）、（7-3）两式告诉我们：每 个 观 测 值 都包含处理效应(i 或 )，与误差( ij 或 )，故kn个观测值的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异两部分。药剂 A(x1)B(x2)C(x3)D(x4)19212022232418252127192713201522 总和Ti. 76927296平均 19231824观察值【例7.1 】-2 2 -3 3 药剂 A(x1)B(x2)C(x3)D(x4)19212022 2
10、3241825 21271927 13201522 总和Ti.76927296平均19231824观察值2、自由度与平方和的剖分在方差分析中是用样本方差即均方（MS）来度 量资料的变异程度的。表7.1中全部观测值的总变异可以用总均方来度 量。将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是 要将 总 均方 分解为处理间均方和处理内均方。但 这种分解是通过将总均方的分子称为总离均差平 方和，简称为总平方和，剖分成处理间平方和与处 理内平方和两部分；将总均方的分母称为总自由 度，剖分成处理间自由度与处理内自由度两部分来 实现的。(1)平方和的剖分 在表7.1中，反映 全部观测值总变异的总平方 和是各观测
11、值xij与总平均数的离均差平方和， 记为SST。即（7- 4）因为因为其中所以（7-5 ）（7-5）式中， 为各处理平均数与总平均数的离均差平方和与重复数n的乘积 ，反映了重复 n 次的处理间变异 ，称为处理间平方和，记为SSt，即:（7-6 ）(7-5)式中， 为各处 理内离均差平方和之和，反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方和或误差平方和，记为SSe，即:（7-7）于是有SST =SSt+SSe （7-8）这个关系式中三种平方和的简便计算公式如下：其中，C = T2 /(kn) 称为矫正数。（7-9）CTnSSikit-=S =2 . 11CxSSijnjkiT-=SS =211(2
12、)自由度的剖分 在计算总平方和时，资料中的各个观测值要受 这一条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减1，即kn-1。总自由度记为dfT，即:dfT = kn 1 （7-10 ）在计算处理间平方和时，各处理均数要受这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减1，即k-1。 处理间自由度记为dft，即：dft = k - 1 （7-11）在计算处理内平方和时，要受k个条件的约束，即,( i=1k )。故处理内自由度为资料中观测值的总个数减k，即kn-k 。处理内自由度记为dfe，即：dfe = kn k = k(n-1) （7-12 ）因为所以 综合以上各式得：(7-13)(7-13)(7-
13、14)(7-14)即：总均方一般不等于处理间均方加处理内均方 。各部分平方和除以各自的自由度便得到总均 方、处理间均方和处理内均方， 分别记为 MST（或 ）、MSt（或 ）和MSe（或 ）。（7-15）(3)均方的计算 计算均方后，通过比较处理间均方相对误差 均方的大小即可判断处理效应所引起的变异 所占比重，从而可以判断试验是否存在明显 处理效应。三、方差分析中的F 测验方差分析的F 检验用于测验某项变异因素的 效应是否真实存在将要测验的那一项变异因素的均方作分子， 另一项变异因素（例如误差项）的均方作分 母（具体情况与所用试验设计和模型有关）如果F0.05， 应该接受H0F测验需具备的条件
14、：（1）被抽样总体的变数x服从正态分布，即 xN(,2 )（2） 和 彼此相互独立。注：当试验资料不符合这些条件时，需要作 适当转换。第二节 方差分析的一般步 骤一、平方和与自由度的分解二、列出方差分析表，作F测验三、若F检验显著，则进行多重比较四、结果的解释/说明【例】以A（CK）、B、C、D共4种药剂处理水 稻种子，测得苗高结果如下表：药剂药剂苗高观测值观测值总总和平均A182120137218B202426229223C101517145614D2827293211629T.=33621一、平方和与自由度的分解1、平方和的计算 方法一 ：方法二 ：，C = T2 /(kn)CTnSSikit-=S =2 . 11CxSSijnjkiT-=SS =211方法二：C=T2/(kn)=3362/(44)=7056CxSSijnjkiT-=SS =211CTnSSikit-=S =2 . 11=(182+212+322)C=602=(722+922+562+1162)/4C=504SSe= SST SSt = 602504 = 982、自由度的分解tTedfdfdf-=-=tkdf1Tkndf-=1= 441 = 15= 41 = 3= 153 = 12二、列出方差分析表，作F测验表7.5 药剂处理后水稻苗高的方差分析表变异
