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1、 计算机控制技术计算机控制技术课程设计课程设计实验：直线一级倒立摆系统的建模及仿真实验：直线一级倒立摆系统的建模及仿真 一、已知条件：图 1 倒立摆简化模型 摆杆角度为输出，小车的位移为输入。导轨中点为坐标轴的中心即零点，右向为坐标值 增加的方向，杆偏移其瞬时平衡位置右侧的角度为正值。 二、任务要求：总体任务通过调节 PID 参数，设计 PID 控制器实现摆杆在受到干扰的情况下，依然能恢 复平衡。具体包括以下几部分： 1. 理论推导 包括倒立摆系统的动力学模型，传递函数，离散传递函数，状态空间或差分方程，稳 定性分析，PID 控制器设计 2. 程序实现 实现内容：倒立摆系统模型，控制器以及仿真
2、结果的显示。 开发语言和工具：Matlab m 文件或 C/C+ (工具：VC+或其它) 3. PID 控制参数设定及仿真结果。分别列出不同杆长的仿真结果（例如：L=0.25 和 L=0.5）。 4. 将理论推导、程序实现、仿真结果写成实验报告。具体求解过程如下： 一，倒立摆系统动力学模型的建立图 1 摆杆的受力分析图 以摆杆为研究对象，对其进行受力分析，如图 1 所示。根据质点系的达朗贝尔原理得（1）式中，为杆的惯性力，表达式为，为杆的质量，为重力加速度，为杆的惯性力偶。惯性力及惯性力偶的大小分别为（2）式中，为杆的角加速度，为小车的加速度，为杆的长度，为杆偏离中心位置的角度，偏离轨道中心的
3、位移。对（2）式代入（1）式，并整理可得（3）当摆动较小时，可以进行近似处理。故（3）式可化为（4）对（4）式进行拉普拉斯变换得（5） 则系统的开环传递函数为（6）式中， 二，离散传递函数，差分方程、状态空间及稳定性分析 1，离散传递函数将连续系统离散化，根据连续传递函数可求得相应的脉冲传递函数为（7）式中，。将参数代入（7）式得该参数下的脉冲传递函数为（8） 2，根据离散传递函数求系统差分方程 由可得（9）进行反变换即可得到对应的差分方程（10）将参数代入（10）式得该参数下的差分方程为（11）3，根据离散传递函数求系统状态空间表达式 根据设（12） 则（13）选取状态变量（14）将代入，取
4、反变换，可得状态方程（15）将参数代入（15）式得该参数下的状态方程为（16）4，稳定性分析 对于开环系统，由传递函数可得系统的特征方程为（17）特征方程的根为。由于特征根中有一个大于 1，位于单位圆外，故系统是不稳定的。 四，PID 控制器设计 由以上分析可知，系统是不稳定的，为使倒立摆在受到干扰时能保持稳定，必须对系统 进行 PID 控制器的设计。 倒立摆计算机控制系统的框图如下模拟 PID 控制器的基本算式为（18）根据式（16）和（18）可求得在不同下的摆角值。具体的仿真过程如下：1，取固定不变，分别取 0.5,1.0,1.5,2.0，倒立摆的输出变化曲线如下：(a1)(b1)(c1)
5、(d1)由图(a1)、(b1)、(c1)、(d1)可知，当时，倒立摆在受到干扰时可以达到稳定；继续增大到 1.0，系统的调节时间变短；当时，虽然倒立摆仍能稳定，但调节时间变长；当时，倒立摆已无法恢复稳定。2，取固定不变，分别取-0.5,-1.5,-2.5,-3.5，倒立摆的输出变化曲线如下：(a2)(b2)(c2)(d2)由图(a2)、(b2)、(c2)、(d2)可知，当时，倒立摆在受到干扰时开始可以达到稳定，但当时间变长后无法达到稳定；继续减小到-1.5，系统可以达到稳定；当时，系统的调节时间变短；当减小到-3.5 时，倒立摆已无法恢复稳定。3，取固定不变，分别取-0.1,-0.3,-0.5
6、,-0.7，倒立摆的输出变化,曲线如下：(a3)(b3)(c3)(d3)由图(a3)、(b3)、(c3)、(d3)可知，当从-0.1 减小到-0.7 时，倒立摆在受到干扰时达到稳定的调节时间先减小后增大，到-0.7 时系统已无法恢复稳定。 五，改变杆长后的仿真结果 将杆长由改为，系统的仿真结果如下：1，取固定不变，分别取 0.2,0.4,0.8,1.0，倒立摆的输出变化曲线如下：(a11)(b11)(c11)(d11)由图(a11)、(b11)、(c11)、(d11)可知，当时，倒立摆在受到干扰时可以达到稳定；继续增大到 0.4，系统的调节时间变短；当时，虽然倒立摆仍能稳定，但调节时间变长；当
7、时，倒立摆已无法恢复稳定。2，取固定不变，分别取-1.0,-1.3,-1.6,-1.9，倒立摆的输出变化曲线如下：(a12)(b12)(c12)(d12)由图(a12)、(b12)、(c12)、(d12)可知，当时，倒立摆在受到干扰时开始可以达到稳定，但当时间变长时会失去稳定；继续减小到-1.3，系统可以达到稳定；当时系统可以稳定但调节时间变长；当减小到-1.9 时，倒立摆已无法恢复稳定。3，取固定不变，分别取-0.01,-0.1,-0.2,-0.24，倒立摆的输出变化,曲线如下：(a13)(b13)(c13)(d13)由图(a13)、(b13)、(c13)、(d13)可知，当从-0.01 减
8、小到-0.24 时，倒立摆在受到干扰时达到稳定的调节时间先减小后增大，到-0.24 时系统已无法恢复稳定。附录： 1，PID 设计过程的 Matlab 程序如下l=1; g0=10;%重力加速度tt=0.01;%采样周期 a=3/(4*l);%代数 a numGs=-a 0 0;%连续传递函数的分子 denGs=1 0 -a*g0;%连续传递函数的分母 sysGs=tf(numGs,denGs);%系统连续传递函数 F,G,C,D=ssdata(c2d(sysGs,tt,zoh);%求得 ZOH 下 以 tt 为采样周期的状态空间（离散）t(1)=0; x=zeros(1,1000);%一行
9、1000 列 0 矩阵theta(1)=0; e=zeros(1,1000); %一行 1000 列 0 矩阵s=0; KP=0.5;KI=-2.0; KD=-0.3;% 设置 PID 参数y=0;0; for k=2:1000;t(k)=t(k-1)+tt;if k=20delta=0.1;elsedelta=0;endtheta(k-1)=theta(k-1)+delta; e(k)=-theta(k-1);%PID 公式的第一项s=s+e(k);%PID 公式的第二项x(k)=KP*e(k)+KI*s+KD*(e(k)-e(k-1);%PID 公式theta(k)=C*y+D*x(k);
10、%初始输出 y 为零y=F*y+G*x(k); end figure(1) plot(t,theta),grid title(KP=0.5,KI=-2.0,KD=-0.3) xlabel(t/s),ylabel(theta) 2，为便于改变参数，可利用 Matlab 的 GUI 界面来方便的进行 PID 参数的设计，所设计的 界面如下图所示：此时需将程序命令添加到 Plot 按钮下，即function plot_push_Callback(hObject, eventdata, handles) l=str2double(get(handles.L_edit,String); tt=str2d
11、ouble(get(handles.T_edit,String); g0=str2double(get(handles.G_edit,String); KP=str2double(get(handles.KP_edit,String); KI=str2double(get(handles.KI_edit,String); KD=str2double(get(handles.KD_edit,String); a=3/(4*l); numGs=-a 0 0; denGs=1 0 -a*g0; sysGs=tf(numGs,denGs); F,G,C,D=ssdata(c2d(sysGs,tt,zo
12、h); t(1)=0; x=zeros(1,1000); theta(1)=0; e=zeros(1,1000); s=0; y=0;0; for k=2:1000;t(k)=t(k-1)+tt;if k=20delta=0.1;elsedelta=0;endtheta(k-1)=theta(k-1)+delta; e(k)=-theta(k-1);s=s+e(k);x(k)=KP*e(k)+KI*s+KD*(e(k)-e(k-1);theta(k)=C*y+D*x(k);y=F*y+G*x(k); end plot(t,theta),grid xlabel(t/s),ylabel(theta) 如输入杆长为 1.0，采样时间为 0.01，重力加速度为 10.0，比例环节为 1.0， 积分环节为-2.0，微分环节为-0.3，点击 Plot，可观察此时的图形界面如下图所示：
