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1、高 等 数 学中国民航大学理学院 陶志E-mail:一、连续函数的算术运算定理1若函数在点处连续,则在点处也连续.例如,在内连续,第十节 连续函数的运算与性质（证略）二、反函数与复合函数的连续性定理2若函数在区间上单调减少)且连续,则它的反函数也在对应的区间上调减少)且连续.（证略）单调增加(或单调增加(或单例如,在上单调增加且连续,故在上也是单调增加且连续.在其定义域内连续.总之,反三角函数在它们的定义域内都是连续的.在区间内单调减少且连续.同理在上单调减少且连续;在区间内单调增加且连续;复合函数的连续性定理3若函数在点处连续,则有证在点处连续,当时,恒有又对上述当时,恒有结合上述两步得,当
2、时,恒有意义定理4设函数在点处连续,且而函数在点处连续,则复合函数在点处也连续.注意定理4是定理3的特殊情况.例如,在内连续,在内连续,在内连续.极限符号可以与连续函数符号互换;例 1求解例 2 求解例 3 求解令则易见当时 ,所以例 4 求解因为所以三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数的;指数函数在内单调且连续;对数函数在内单 调且连续;在内连续.讨论的不同值(均在其定义域内连续).在它们的定义域内是连续定理5基本初级函数定理6一切初等函数定义区间是指注意1.但在其定义域内不一定连续.例如,及在定义域内是连续的.在其定义区间内都是连续的.包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续
3、,在0点的邻域内没有定义, 函数在区间上连续.2.定义区间).初等函数求极限的方法(代入法)例 5 求解因为是初等函数 , 且是其定义区间内的点 , 所以在点处连续 , 于是幂指函数的极限因为 故幂指函数可化为复合函数.易见:若则即注意公式成立的条件例6求称为幂指函数.解形如的函数定义对于在区间上有定义的函数如果有使得对于任一都有则称是函数在区间 上的最大(小)值.四、闭区间上连续函数的性质定义在闭区间上的连续函数有很多在理论和 应用中都十分重要的性质，在此我们将给予详细 的介绍。例如,（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.定理7注意:若函数在开区间内连续,或在闭区间
4、上有间断点， 结论不一定成立 。例如无最大值和最小值 。又如也无最大和最小值 。定理8（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证设函数在上连续,于是存在、 使得有取故函数在上有界.定义如果使则称为函数的零点.（零点定理）设函数在闭区间上连续,即至少有一点使即方程在内至少存在一个实根.（介值定理） 设函数在闭区间上连续,且在这区间的端点取不同的函数值定理8(即且异号与那么在开区间内至少有函数的一个零点,定理9那么, 对于与之间的任意一个数在开区间内至少有一点使得证设则在上连续,且及由零点定理,使由推论 在闭区间上连续的函数与最小值之间的任何值.必取得介于最大值例 7证明方程少有一个
5、实根 .在区间内至证令则在上连续 .又由零点定理 ,使即方程根在内至少有一个实例 8证设函数在区间上连续 , 且证明 :使得令则在上连续 .而由零点定理 ,使即例 9证证明方程含于内的两个实根 .有分别包当两端 , 得设则用乘方程由零点定理知 ,在与内至少各有一个零点 , 即原方程在与内至少各有一个实根 .例 10证且证明 :设在上连续 ,在上至少有一点使 便可对得到所需的结论.存在有即只要能找到一点使在上应用零点定理 ,因故对当时 ,由零点定理知 :取实数这样而在内至少有一点使由于也就是说在内至少有一点使五、一致连续的概念定义 设函数在区间上有定义,若使得对于区间上的任意两点当时,就有则称函
6、数在区间上是一致连续的.注: 一致连续性表明:不论在区间上的哪一部分,只要自变量的两个数值接近到一定的程度,就可使对应的函数值达到所指定的接近程度.一致连续性定理如果函数在闭区间上连续, 则它在该区间上一致连续.证略.例 11证证明函数在内是一致 连续 . 因为的任意两点就有所以对于任给只要取对内当时 ,因此在内是一致连续的 .注 : 由一致连续的定义可以知道 ,但是反过来不一定成立 .如果函数在区间上一致连续 , 则在区间上必定连续 .例 12证的 , 但不是一致连续的 .试说明函数在区间上是连续上有定义 ,因为函数是初等函数 , 它在区间所以在上是连续的 .假设在上一致连续 , 应该使得对于上的任意两个值现在取原点附近的两点显然当时 , 就有因但这时不符合一致连续的定义 ,不是一致连续的 .故只要取得足够大 , 总能使有所以在上作业：习题1101；2 （2）、（4）、（ 6） ； 4；8 ；9 .补充作业题：总习题一14；21；31；33；34 .课间 休息
