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1、第三节 等比数列内 容 要 求 A B C 等比数列 三年2考 高考指数:1.等比数列的定义(1)条件：一个数列从第二项起_等于同一个常数.(2)公比：指的是常数，通常用字母q表示(q0).(3)定义表达式:_.每一项与它前一项的比判断下列数列是否为等比数列.(请在括号中填“是”或“否”)(1)数列0,0,0,0,0, ( )(2)数列1,1,2,4,8,16,32, ( )(3)数列a,a,a,a,a, ( )(4)数列1,-1,1,-1,1, ( )【即时应用】【解析】(1)不是.等比数列中的项不能为0.(2)第二项与第一项的比值不等于常数2,故不是等比数列.(3)当a=0时,不满足等比数
2、列的概念,故不一定是等比数列.(4)是等比数列.答案：(1)否 (2)否 (3)否 (4)是2.等比数列的通项公式若等比数列an的首项是a1,公比是q,则其通项公式为_. (1)等比数列 的第11项为_.(2)在等比数列an中，若a3=2,a6=16，则数列的通项公式为_.【即时应用】【解析】(1)(2)设等比数列的公比为q，则解得答案:(1) (2)an=2n-23.等比中项如果_成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列_.a,G,bG2=ab(1)b2=ac是a、b、c成等比数列的_条件.(2)若等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4，
3、则它的第5项为_.【即时应用】【解析】(1)当a=0,b=0,c=1时，满足b2=ac,但a、b、c不成等比数列,反之，若a、b、c成等比数列，则必有b2=ac,故b2=ac是a、b、c成等比数列的必要不充分条件.(2)由题意知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,答案:(1)必要不充分 (2)4.等比数列的前n项和公式(1)当公比q=1时,Sn=；(2)当公比q1时,Sn=_=_.na1(1)在等比数列an中，a1=2.4,q=-1.5,n=5，则Sn=_.(2)在等比数列an中， 则Sn=_.(3)设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn，则【即时应用】【解析】答案:(1) (
4、2) (3)等比数列的基本运算【方法点睛】1.等比数列运算的通法解决等比数列运算问题的一般方法是设出首项和公比，然后根据通项公式或前n项和公式转化为方程组求解.2.等比数列前n项和公式的应用在使用等比数列的前n项和公式时，应首先判断公比q能否为1，若能，应分q=1与q1两种情况求解.【提醒】在运算过程中，应善于运用整体代换的思想简化运算的过程. 【例1】(1)(2011湘潭模拟)已知an是各项都为正数的等比数列,Sn是an的前n项和,若a1=1,5S2=S4，则a5=_.(2)(2011大纲版全国卷)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.【解题指南】(
5、1)根据5S2=S4，列方程求公比q.(2)建立关于a1和q的方程组，求出a1和q后再求an和Sn.【规范解答】(1)设公比为q,则由5S2=S4知q1,又a1=1,q2=4,又q0,q=2.a5=a1q4=124=16.答案:16(2)设an的公比为q，由题意得解得 或当a1=3,q=2时，an=32n-1,Sn=3(2n-1);当a1=2,q=3时，an=23n-1,Sn=3n-1.【互动探究】本例(2)中,若将“a2=6,6a1+a3=30”改为“a1+a2=12,a2a4=1”，试求an和Sn.【解析】设等比数列an的公比为q，由题意知 或解得 或当a1=9, 时,当 时,=(-1)n
6、-143-n,【反思感悟】1.本例(1)只有一解，本例(2)有两组解，在求解过程中，要注意根据题意确定解的个数.2.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.【变式备选】1.已知Sn为等比数列an的前n项和，Sn=93，an=48，公比q=2，则项数n=_.【解析】由Sn=93，an=48，公比q=2，根据等比数列的前n项和公式和通项公式可得 2n=32 n=5.答案：52.已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.【解析】方法一：设前
7、2个数分别为a，b,则第3、4个数分别为36-b,37-a，则解得 或所以这四个数分别为12,16,20,25或者方法二：设第2、3个数分别为b,c，则第1个数为2b-c，第4个数为 则 所以这四个数分别为12,16,20,25或者方法三：设第1、3个数分别为a,c，则第2、4个数分别为然后根据题意可知解得从而解得这四个数分别为12,16,20,25或者等比数列的判定与证明【方法点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若 (q为非零常数,nN*)或 (q为非零常数且n2,nN*)，则an是等比数列.(2)中项公式法：若数列an中，an0且an+12=anan2 (nN*)，则数列an是等比数列.
8、(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=cqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列.(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列.【提醒】前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明某一数列为等比数列.【例2】设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an，证明数列bn是等比数列；(2)在(1)的条件下证明 是等差数列,并求an.【解题指南】(1)利用Sn+1=4an+2，寻找bn与bn-1的关系.(2)先求bn，再证明数列 是等差数列，最后求an.【规范解答】(1
9、)由a1=1,及Sn+1=4an+2,有a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,b1=a2-2a1=3.由Sn+1=4an+2 知当n2时，有Sn=4an-1+2 -得an+1=4an-4an-1，an+1-2an=2(an-2an-1)又bn=an+1-2an，bn=2bn-1,即bn是首项b1=3,公比为2的等比数列.(2)由(1)可得bn=an+1-2an=32n-1,数列 是首项为 公差为 的等差数列.【反思感悟】在证明本题时，首先利用转化的思想，把Sn+1=4an+2转化为an+1与an的关系，然后作商 或 在作商时，无论使用 还是 都要考虑比值中是否包含了 这一项，这是很容易
10、被忽视的地方.【变式训练】数列an的前n项和为Sn，若an+Sn=n,cn=an-1，求证:数列cn是等比数列.【证明】an+Sn=n,a1+S1=1,得又an+1+Sn+1=n+1,2an+1-an=1,即2(an+1-1)=an-1.又a1-1数列cn是以 为首项，以 为公比的等比数列. 等比数列的性质及应用【方法点睛】等比数列的常见性质(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),则 (2)通项公式的推广：an=amqn-m(m,nN*);(3)若数列an,bn(项数相同)是等比数列，则an,an2,anbn, (0)仍然是等比数列;(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构
11、成一个等比数列，即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列，公比为qk;(5)公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为-1时，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定构成等比数列.【例3】(1)已知各项均为正数的等比数列an中, a1a2a3=5,a7a8a9=10，则a4a5a6=_.(2)已知等比数列an满足an0，n=1,2,且a5a2n-5= 22n(n3)，则log2a1+log2a3+log2a2n-1等于_.【解题指南】(1)利用a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列求解.(2)根据
12、a5a2n-5=an2先求an，再代入求解.【规范解答】(1)a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列,(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=50,又an0,答案：(2)a5a2n-5=an2=22n且an0,an=2n,a2n-1=22n-1,log2a2n-1=2n-1,log2a1+log2a3+log2a2n-1=1+3+5+(2n-1)=n2.答案：n2【互动探究】若本例第(1)题条件改为“a1+a2+a3=40,a4+a5+a6=20”,求数列an的前9项之和.【解析】(a1+a2+a3),(a4+a5+a6),(a7+a8+a9)成等比数列,S9=40+
13、20+10=70.【反思感悟】1.解答本例(1)时,也可用整体代入的方法求解,但不如用等比数列的性质简单.2.利用等比数列的性质解决问题时,一定要注意每一项的下标,不要犯a2a5=a7的错误.【变式备选】在等比数列an中，an0，若(2a4+a2+a6)a4= 36，则a3+a5=_.【解析】an是等比数列,an0,(2a4+a2+a6)a4=2a42+a2a4+a6a4=a32+a52+2a3a5=(a3+a5)2=36,a3+a5=6.答案:6 【创新探究】等比数列与三角函数相结合的创新题【典例】(2011福建高考)已知等比数列an的公比q=3,前3项和(1)求数列an的通项公式;(2)若
14、函数f(x)=Asin(2x+)(A0,0)在 处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式.【解题指南】(1)先求a1，再求an.(2)先求出a3，从而A可知，再根据f(x)的图象过点 求.【规范解答】(1)由 得解得(2)由(1)知an=3n-2,a3=3.函数f(x)的最大值为3,所以A=3.当 时,f(x)取得最大值,函数f(x)的解析式为【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：创新点拨 本题有以下创新点：(1)考查内容上有所创新，等比数列和三角函数两部分知识跨度较大，把它们有机地融合在一起考查，对学生灵活处理问题的能力有较高要求；(2)考查方式上有所创新，本题一改以往对数列与函数、不等式相结合的传统命题方式，而是求新求变，与三角函数相结合，考查学生的阅读理解能力和知识迁移能力. 备考建议 在解决与数列有关的创新问题时，要注意以下几点：(1)解答此类问题应采取先局部后整体的策略，即
