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1、8.3静电场的高斯定理高斯（1777年4月30日1855年2月23日）， 生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、 物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被 认为是最重要的数学家，有数学王子的美誉， 并被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米 德、牛顿、欧拉并列，同享盛名。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、 微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等 方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在 对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学 方法进行研究。 8.3.1 静电场的电场线为了直观形象地描述电场，引入电场线概念。负负 点点 电电 荷荷正正 点点 电电 荷荷
2、+一对等量异号点电荷的电场线一对等量异号点电荷的电场线+一对等量正点电荷的电场线一对等量正点电荷的电场线+一对不等量异号点电荷的电场线一对不等量异号点电荷的电场线带电平行板电容器的电场线带电平行板电容器的电场线+ + + + + + + + + + + + 8.3.1 静电场的电场线1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向,2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为该点电场强度的大小，规 定为了直观形象地描述电场，引入电场线概念。电场线特性1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去向无穷远),电场线不闭合.2） 空间中任意两条电场线不相交. 8.3.2 电场强度通量电通量通过电场中某一个面
3、的电场线数称为通过这个面的电场强度通量均匀电场 ， 垂直平面:单位：伏特.米 均匀电场 ， 与平面夹角法向面积有方向:8.3.2 电场强度通量电通量任意曲面在非均匀电场中的电通量 面积元有方向闭合曲面的电通量对于一个闭合曲 面,法向正方向规定:由内空间指向外空间为正。若 表示穿出大于穿入若 表示穿入大于穿出若 表示穿入等于穿出或无电场线穿过曲面面积元+点电荷位于球面中心8.3.3高 斯 定 理(闭合曲面的电通量）球面电通量为：球面各点场强为：与所在位置的 同向， 点电荷在任意封闭曲面内其中立体角+点电荷在封闭曲面之外由多个点电荷产生的电场高斯定理表述在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,
4、等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 ,与 面外电荷无关。 闭合曲面通常被称为高斯面请思考：1）高斯面上的 与那些电荷有关 ？ 2）哪些电荷对闭合曲面 的 有贡献 ？静电场是有源场.讨论1.将 从 移到点 点电场强度是否变化？穿过高斯面 的 有否变化？*2. 在点电荷 和 的静电场中，做如下的三 个闭合面 求通过各闭合面的电通量为 ：8.3.4 高斯定理的应用计算场强其步骤为：分析对称性；根据对称性选择合适的高斯面；由电通量定义写出闭合曲面电通量；应用高斯定理写出闭合曲面电通量；比较两式写出方程，计算场强；根据电荷实际分布确定场强方向。用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性+ + + +
5、 + +一半径为 , 均匀带电 的薄球 壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度.解（1）由电通量的定义式得：由高斯定理得：例5 均匀带电球壳的电场强度（2）由电通量的定义式得：由高斯定理得：+ + +例6 :半径为R,无限长均匀带电直圆柱面，电荷面密度为 , 求圆柱体内外电场分布。解：根据电通量定义： hSr（1）当r R时，RErORSr h例7 半径为R,无限长均匀带电直圆柱体，电荷体密度为，求圆 柱体内外电场分布。解：根据电通量定义：hSr（1）当r R时，根据高斯定理：而RErORSr h例8 无限大均匀带电平面的电场强度无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为 ，求距平面为
6、 处的电场强度.选取闭合的柱形高斯面对称性分析： 垂直平面解: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 讨 论无 限 大 带 电 平 面的 电 场 叠 加 问
7、题8.4、静电场的环路定理内的元功：其中则1静电力作功的特点（）点电荷的电场中静电力做功与路径无关，完全由电荷始末位置决定，是保守力（）点电荷系的电场中(与路径无关)2、静电场的环路定理abcd即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。沿闭合路径 abcda 运动一周电场力所作的功定义：为静电场的环量（环流）静电场中电场强度的环流恒为零。静电场是保守场，可以引进势的概念。电荷在静电场中具有电势能。静电场的环路定理：即：3、电势能：电荷在静电场中某一位置所具有的势能。重力（保守力）的功=重力势能增量的负值静电力的功=电势能增量的负值ab则电场力的功取b点电势能试验电荷处于a点电势能零电势能点
8、选择：取无穷远处电荷的电势能为零。如果选无穷远处为零势能点，则电荷在电场中某点具有的电势能，等于把电荷从该点移到无穷远处静电力所做的功。静电力的功=电势能增量的负值电势能的大小是相对的，如同重力势能的大小是相对的一样。电势差：电场中任意两点 的电势之差（电压）。电势 u电场中某点的电势，等于单位正电荷在该点所具有的电势能，把单位正电荷从该点移到无穷远处电场力所作的功。定义 a b两点的电势差，等于把单位正电荷从a点移到b点电场 力所作的功。4电势 电势差两点电势差：5. 功、电势差、电势能之间的关系有正负。选无穷远处电势为零令6.点电荷电场的电势根据电场叠加原理场中任一点的7. 电势叠加原理若
9、场源为的点电荷系场强电势各点电荷单独存在时在该点电势的代数和点电荷系电荷连续分布例8 求带电量为q,半径为R的均匀带电球面内外的 电势。解:均匀带电球面内外场 强分布：+ + + + +1）球面内一点电势+ + + + +2）球面外一点的电势+ + + +r+例9 正电荷 均匀分布在半径为 的细圆环上. 求圆环轴线上距环心为 处点 的电势.讨 论空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面 . 8.5.1 等势面（电势图示法 ）为了描述空间电势的分布 ，规定任意两相邻等势面间 的电势差相等.85 电场强度与电势梯度1. 在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力不做功2. 在静电场中，电场强度 总
10、是与等势面垂直，即 电场线是和等势面正交的曲线簇.等势面的性质:点点 电电 荷荷 的的 等等 势势 面面按规定，电场中任意 两相邻等势面之间的 电势差相等，即等势 面的疏密程度同样可 以表示场强的大小两平行带电平板的电场线和等势面两平行带电平板的电场线和等势面+ + + + + + + + + + + + 一对等量异号点电荷的电场线和等势面一对等量异号点电荷的电场线和等势面+8.5.2 电势梯度电势梯度：描述电势随空间位置变化快慢的物理量由此看出，该变化率沿等势面法线 方向最大，由此电势梯度具有方向性。电势沿空间不同方向变化的快慢不同负负 点点 电电 荷荷电势梯度定义：电场中某点的电势梯 度，
11、其方向与该点电势空间增加率最 大的方向相同，大小等于沿该方向的 电势增加率。高电势低电势等势面法向正方向规定：由低电势指向高电势的等势面法 向为等势面法线正方向，用 表示。电场中某点对应等势面的法线 正方向与该点电场强度方向一定相反。方向 与 相反，由高电势处指向低电势处大小8.5.3 电场强度与电势梯度的关系高电势低电势（电势梯度）在直角坐标系中:为求电场强度 提供了一种新的途径求 的三种方法利用电场强度叠加原理 利用高斯定理 利用电势与电场强度的关系例10 已知半径为R,电量为q的均匀带电球面 是等势体，球面内的电势为球面外的电势为求球面内外的电场强度 。解：均匀带电球面的电场呈球对称性，电势仅沿径向 变化，于是当rR时，例11 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度. 解
