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1、1课时跟踪检测（十一）课时跟踪检测（十一） 数学归纳法数学归纳法层级一 学业水平达标1设Sk，则Sk1为( )1 k11 k21 k31 2kASk BSk1 2k21 2k11 2k2CSk DSk1 2k11 2k21 2k21 2k1解析：选 C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk，1 k11 k21 2k得Sk1.1 k21 k31 2k1 2k11 2k1由，得Sk1Sk1 2k11 2k11 k1.故Sk1Sk.1 2k11 2k11 2k11 2k12利用数学归纳法证明不等式 1 n(n2，nN*)的过程中，由1 21 31 2n1nk变到nk1 时，左边增加了( )A
2、1 项 Bk项C2k1项 D2k项解析：选 D 当nk时，不等式左边的最后一项为，而当nk1 时，最后一1 2k1项为，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1 2k111 2k12k1，故增加了 2k项3一个与正整数n有关的命题，当n2 时命题成立，且由nk 时命题成立可以推得nk2 时命题也成立，则( )A该命题对于n2 的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对解析：选 B 由nk时命题成立可推出nk2 时命题也成立，又n2 时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选 B.4对于不等式 n1(nN*)，某同学
3、用数学归纳法的证明过程如下：n2n(1)当n1 时， 11，不等式成立1212(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即 k1，则当nk1 时，k2k(k1)k12k1k23k2k23k2k2k221，nk1 时，不等式成立，则上述证法( )A过程全部正确Bn1 验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1 的推理不正确解析：选 D 在nk1 时，没有应用nk时的归纳假设，故选 D.5设f(n)5n23n11(nN*)，若f(n)能被m(mN*)整除，则m的最大值为( )A2 B4C8 D16解析：选 C f(1)8，f(2)32，f(3)144818，猜想m的最大值为 8.6用数学归纳法证明
4、“对于足够大的自然数n，总有 2nn3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是_解析：2101 024103,2951293，n0最小应为 10.答案：107用数学归纳法证明 ，假设nk时，不等式成立，1 221 321 n121 21 n2则当nk1 时，应推证的目标不等式是_解析：观察不等式中分母的变化便知答案： 1 221 321 k121 k221 21 k38对任意nN*,34n2a2n1都能被 14 整除，则最小的自然数a_.解析：当n1 时，36a3能被 14 整除的数为a3 或 5；当a3 且n2 时，31035不能被 14 整除，故a5.答案：59已知数列an满
5、足a11，an12an1(nN*)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想出通项公式an，并且用数学归纳法证明解：(1)a23，a37，a415，a531.(2)归纳猜想出通项公式an2n1，当n1 时，a11211，成立假设nk时成立，即ak2k1，则当nk1 时，由an12an1(nN*)，3得：ak12ak12(2k1)12k1212k11，所以nk1 时也成立；综合，对nN*等式都成立，从而得证10用数学归纳法证明 1 1 n(nN*)n 21 21 31 2n1 2证明：(1)当n1 时， 1 ，命题成立3 21 23 2(2)假设当nk(kN*)时命题成立，即 1 1 k，k
6、 21 21 31 2k1 2则当nk1 时，1 1 2k1.1 21 31 2k1 2k11 2k21 2k2kk 21 2k1k1 2又 1 k2k (k1)，1 21 31 2k1 2k11 2k21 2k2k1 21 2k1 2即nk1 时，命题成立由(1)和(2)可知，命题对所有nN*都成立层级二 应试能力达标1.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1 边形对角线的条数f(n1)为( )Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：选 C 增加一个顶点，就增加n13 条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n1)f(n)1n13f(n)n1.故应选 C.2设f(
7、n)1 (nN*)，那么f(n1)f(n)等于( )1 21 31 3n1A. B.1 3n21 3n1 3n1C. D.1 3n11 3n21 3n1 3n11 3n2解析：选 D f(n1)f(n).1 3n1 3n11 3n23设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k1)与f(k)的关系是( )Af(k1)f(k)k1Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)kDf(k1)f(k)k2解析：选 C 当nk1 时，任取其中 1 条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交4点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平
8、面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而nk1 时交点的个数是f(k)kf(k1)4若命题A(n)(nN*)nk(kN*)时命题成立，则有nk1 时命题成立现知命题对nn0(n0N*)时命题成立，则有( )A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确解析：选 C 由题意知nn0时命题成立能推出nn01 时命题成立，由nn01 时命题成立，又推出nn02 时命题
9、也成立，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定5用数学归纳法证明 1aa2an1(nN*，a1)，在验证n1 成1an2 1a立时，左边所得的项为_解析：当n1 时，n12，所以左边1aa2.答案：1aa26用数学归纳法证明 12222n12n1(nN*)的过程如下：当n1 时，左边201，右边2111，等式成立假设nk(k1，且kN*)时，等式成立，即12222k12k1.则当nk1 时，12222k12k2k11，12k1 12所以当nk1 时，等式也成立由知，对任意nN*，等式成立上述证明中的错误是_解析：由证明过程知，在证从nk到nk1 时，直接
10、用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的答案：没有用归纳假设7平面内有n(nN*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2n2 部分证明：(1)当n1 时，n2n22，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立(2)假设当nk(k1，kN*)时命题成立，即k个圆把平面分成k2k2 部分则当nk1 时，这k1 个圆中的k个圆把平面分成k2k2 个部分，第k1 个圆5被前k个圆分成 2k条弧，这 2k条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加 2k个部分，故k1 个圆把平面分成k2k22k(k1)2(k1)2 部分，即nk
11、1 时命题也成立综上所述，对一切nN*，命题都成立8已知某数列的第一项为 1，并且对所有的自然数n2，数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前 5 项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明解：(1)已知a11，由题意，得a1a222，a222.a1a2a332，a3.32 22同理，可得a4，a5.42 3252 42因此这个数列的前 5 项分别为 1,4， ，.9 416 925 16(2)观察这个数列的前 5 项，猜测数列的通项公式应为：anError!下面用数学归纳法证明当n2 时，an.n2 n12当n2 时，a222，结论成立22 212假设当nk(k2，kN*)时，结论成立，即ak.k2 k12a1a2ak1(k1)2，a1a2ak1akak1(k1)2，ak1k12 a1a2ak1akk12 k12k12 k2k12 k2.k12 k112这就是说当nk1 时，结论也成立根据可知，当n2 时，这个数列的通项公式是an.n2 n12这个数列的通项公式为anError!
