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1、第十节 函数的极值与最大最小值本节要点本节引入函数的极值，并通过函数的一阶及二阶导函数的符号去讨论函数的极值情况.一、函数的极值与求法二、函数的最大值及求法三、应用一、函数的极值与求法定义 设函数 在点 的某个邻域 内有定义，如果对任意的 有或则称 是函数 的一个极大值（极小值）, 点是 的一个极大值点（极小值点）；极大值和极小值通称为极值；极大值点和极小值点通称为极值点.值得注意的是：函数的极值是一个局部性的概念。极小值极大值在本章的第五节中，费马定理指出: 如果函数可导，并且点 是它的极值点，那么点 是它的驻点，即 ，但是函数的驻点未必是它的极值点.例如函数 但 不是函数的极 值点.如果函
2、数 在 处不可导，则 也有可能是它的极值点，例如 在 处不可导，但 是极小值点。我们把函数的驻点和不可导点称为可疑极值点。定理1（判断法一，第一充分条件） 设函数 在点 处连续，在 处的某个空心邻域 内可导；若 时， 而 时 则 在点 处取极大值；若 时， 而时 则 在点 处取极小值；（特征：左升右降）（特征：左降右升）若 时， 的符号不变，则 不是的极值点.根据上面的定理，若函数 在定义域内连续，除了某些点外处处可导，则可以按照下面的步骤求出函数的极值: 求出导函数 进而求出 的全部驻点和不可导点； 根据导数 在每个驻点和不可导点的左、右邻近是否变号，确定该点是否为极值点，如果是极值点，进一
3、步确定确定是极大值还是极小值.在极值点求出相应的函数值，就得到函数的极值.例1 求函数 的极值.解 当当所以函数在 处取极大值，极大值为当当所以函数在 处取极小值，极小值为例2 求函数 的极值。解 在上节中，我们知道函数 在中连续，在 中可导，且当 时， 当 所以是函数的一个极大值；当 时，所以 是函数的一个极小值.极小值极大值例3 求函数 的极值.解 当当所以 不是极值点，当当所以函数在 处取极小值，极小值为当当 所以 不是极值点。定理2（判断法二，第二充分条件） 设函数 在点 处二阶可导，且 。若 ，则 在点 处取极大值；若 ，则 在点 处取极小值；证 (1)由极限性质，在 的一个空心邻域
4、 内， 即由定理1知， 在 处取得极大值。例 函数 。将驻点 ，代入 计算，得所以 是极小值点；对于 只能用定理1判别。二、最大值与最小值问题在上一目中我们讨论了函数的极值及求法，在这一目中我们讨论函数在区间中的最大值和最小值及相应的求法. 由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，我们知道若函数在闭区间 上连续, 则函数一定可以取到相应的最大值和最小值, 但并没有给出具体的方法. 这里我们给出在一定的条件下求最大值和最小值的方法.设函数 在区间 上连续。方法：（1）求 在 内得驻点及不可导点；（不需要讨论它们是否为极值点）（2）求出驻点、不可导点以及端点 得函数值；（3）将上述函数值比较后得出
5、最大值和最小值。例4 求函数 在区间 上的最大值和最小值。解 显然函数 在所给区间上连续，可导。又所以 即函数在区间有唯一的驻点。且故 是最小值， 是最大值。 例5 求函数 在区间 上的最大值和最小值。解 显然函数 在所给区间上连续即在 内， 是驻点， 是不可导点，故 是最小值， 是最大值。 例6 将边长为 的正三角形剪去三个全等的四边形（如图所示）然后将其折起，做成一个无盖的正三棱柱盒子，当图中的 取何值时，该盒子的容积最大？解 盒子的高为 底面面积为故相应的体积为求导后并令其为零，得驻点 ，再注意到，故当 时，该盒子的容积最大。例7 设 是两个正数，满足条件 （常数），求 的最大值，其中 解 设 由题意，需求在开区间 中间的最大值。求导后得可知 是函数 在区间 内唯一驻点。显然当 而当 所以函数在点 处取得最大值。最大值为 以上两个实际问题中所涉及的函数只能在自变量的一个 开区间上取值，所以无需计算端点的函数值；而且在此 开区间上往往只有一个驻点，那么该点一定是所求问题 的最大值或最小值点。线段 的长度为例8 设抛物线 上在点 处的法线交该抛物线的另一点 ，求线段 的最短距离 。解 设 ，则 的斜率为 ，而 点的切线斜率为 ，那么 点的法线斜率 ，设且故 在 处取得最小值，所以所求最短距离为
