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1、 二项式定理二项式展开的通项复习旧知第 项性质复习性质1在二项展开式中，与首末两端等 距离的任意两项的二项式系数相等. 性质2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数最大； 性质3： 性质4：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.题型一 利用 的二项展开式解题解法1例1 求 的展开式直接用二项 式定理展开题型一 利用 的二项展开式解题例1 求 的展开式解法2化简后再展开例题2 若 ,则 的值( )A 一定为奇数C 一定为偶数B 与n的奇偶性相反 D 与n的奇偶性相同解:所以 为奇数 故选(A) 思考
2、能用特殊值法吗?偶偶奇A熟记二项式定理,是解答与二项式定理有关 问题的前提条件,对比较复杂的二项式,有时 先化简再展开更便于计算.例题点评题型二利用通项求符合要求的项或项的系数 例3 求 展开式中的有理项解:令原式的有理项为:例4(04全国卷)的展开式中 的系数为_ 解: 设第 项为所求的系数为分析：第 k+1 项的二项式系数 -第 k+1 项的系数-具体数值的积。解：求二项展开式的某一项,或者求满足某种条 件的项,或者求某种性质的项,如含有x 项 的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项 式的通项求解. 注意(1)二项式系数与系数的区别.(2) 表示第 项.3例题点评题型3 二项式定理的逆用
3、 例6 计算并求值解(1):将原式变形题型3 二项式定理的逆用 例7 计算并求值解:(2)原式例题点评 逆向应用公式和变形应用公式是高中数学 的难点,也是重点,只有熟练掌握公式的正 用,才能掌握逆向应用和变式应用题型4 求多项式的展开式中特定的项(系数)例8的展开式中, 的系数等于_ 解:仔细观察所给已知条件可直接求得 的系数是 解法2 运用等比数列求和公式得在 的展开式中,含有 项的系数为 所以 的系数为-20例9求 展开式中的系数。 解:可逐项求得 的系数的展开式通项为当 时 系数为 的展开式通项为当 时 系数为所以 展开式中的 系数为的展开式通项为当 时 系数为-4求复杂的代数式的展开式
4、中某项( 某项的系数),可以逐项分析求解, 常常对所给代数式进行化简,可以 减小计算量例题点评题型5 求乘积二项式展开式中特定的项(特定项的系数)例题10:求 的展开式中 项的系数.解的通项是的通项是的通项是由题意知解得所以 的系数为:例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算（题型6）求展开式中各项系数和解：设 展开式各项系数和为1例题点评 求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为1上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，(2-1)n= =（2-1）n=1例11. 的展开式的各项系数和为_题型7：求奇数(次)项偶数(次)项系数的和(1) (2)题型7：求奇
5、数(次)项偶数(次)项系数的和所以（3）例题点评求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等 式，再根据结果求值题型8 三项式转化为二项式解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式再利用二项式定理逐项分析常数项得=1107_ 解：原式化为其通项公式为240例题点评 括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合 并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二 项式.题型9 求展开式中系数最大(小)的项解:设 项是系数最大的项,则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是例16 在 的展开式中，系数绝对值最大的项 解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，
6、则所以当 时，系数绝对值最大的项为例17求 的展开式中数值最大的项解：设第 项是是数值最大的项展开式中数值最大的项是解决系数最大问题，通常设第 项是系数最 大的项，则有由此确定r的取值例题点评题型10 整除或余数问题 例18 解:前面各项均能被100整除.只有 不能被100整除余数为 正整数注意整除性问题，余数问题，主要根据二项式 定理的特点，进行添项或减项，凑成能整 除的结构，展开后观察前几项或后几项,再 分析整除性或余数。这是解此类问题的最 常用技巧。余数要为正整数例题点评题型11 证明恒等式析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为由此分析求解两式相加例题点评利用求和的方法来证明组合数
7、恒等式是一种 最常见的方法,证明等式常用下面的等式例20证明： 证明通项所以题型12 证明不等式例题点评利用二项式定理证明不等式,将展开式 进行合理放缩题型13 近似计算 例21.某公司的股票今天的指数为2,以后每天的指数都比上一天的指数增加0.2%,则100天后这公司的股票股票指数为_(精确到0.001)解:依题意有2(1+0.2%) 100所以100天后这家公司的股票指数约为2.44点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项巩固练习 一选择题 1(04福建)已知 展开式的常数项是1120,其中实数 是常数,则展开式中各项系数的和是( )C2 若 展开式中含 项的系数与含 项的系数之比为-5,则n等于( )A 4 B 6 C 8 D 10B3 被4除所得的系数为（ ） A0 B1 C2 D3A展开式中 的系数是_2 被22除所得的余数为 。 1353 已知 展开式中的 系数是56， 则实数 的值是_ 或二填空题4.设 二项式展开式的各项系数的和为P；二项式系数的和为S，且P+S=272，则展开式的常数项为_1081 求 展开式中含 一次幂的项。 45x3 在 的展开式中，求：（1） 二项式系数最大的项；（2） 系数绝对值最大的项；（3） 系数最大的项三计算题
