数字信号处理导论—1-模拟信号

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1、1 模拟信号基本分析方法重庆大学 曾 浩1.1 信号分类确定信号与随机信号 连续信号与离散信号、数字信号 周期信号与非周期信号一维信号与多维信号 能量信号与功率信号1.1信号分类确定信号信号是确定时间的函数 随机信号随机变量随机过程1.1 信号分类连续信号时间连续，幅度连续 离散信号时间离散，幅度连续 数字信号时间离散，幅度离散1.1 信号分类周期信号 非周期信号前提通常是针对确定信号而不是随机信号1.1 信号分类能量信号信号能量定义为功率信号信号功率（平均）定义为1.2 确定信号的频域表示周期信号的Fourier级数三角级数指数级数1.2 确定信号的频域表示周期信号的Fourier级数存在条

2、件（Dirichlet条件）在一个周期内，如果有间断点，只能有有限个间断点在一个周期内，极大值和极小值的数目应该是有限个在一个周期内，信号绝对可积三角级数和指数级数频谱的定义频谱包括幅度谱和相位谱，幅度谱定义为正数频谱谱线是离散的指数级数存在负频谱 实信号的频谱关于Y轴对称1.2 确定信号的频域表示周期信号的Parseval定理周期信号的平均功率等于Parseval定理用于建立时域和频域的能量或者功率关系 ，在模拟和数字信号中，都存在1.2 确定信号的频域表示非周期信号Fourier变换如果把一个非周期信号的周期视为无穷大，则按照周期 信号的Fourier级数表示和绝对可积条件，其频谱间隔为

3、无穷小，同时，幅度谱也为无穷小，此时，频谱已经没 有意义但考虑到信号始终存在能量，所以，用谱密度的方式来 表示信号频谱。1.2 确定信号的频域表示非周期信号Fourier变换由于非周期信号的Fourier变换是根据周期信号的 Fourier级数推广而来，那么，周期信号Fourier级数存 在的条件，自然就是非周期信号Fourier变换存在的条 件。不同在于，原来定义的是一个周期内信号要满足 的条件，现在就是在整个时间范围内信号要满足的条 件，即（1）有限个间断点（2）有限个极值（3）绝对可积条件1.2 确定信号的频域表示非周期信号Fourier变换通常非周期信号可以看做是能量信号，其Pasev

4、al定理阐 述了频域和时域能量而非功率的关系1.2 确定信号的频域表示非周期信号Fourier变换变换计算方法频谱的定义非周期信号的Fourier变换是频谱密度函数，简称谱频谱函 数。它表示的含义不是频谱分量的绝对大小，而是密度。幅度谱 ，相位谱1.3 线性时不变系统线性时不变系统定义通常的系统都不是线性时不变系统，只是线性是不变系 统分析简单，也是其他系统的基础线性系统满足齐次性和叠加性时不变系统满足时不变性1.3 线性时不变系统系统的表示微分方程单位冲激响应函数单位冲激响应可以表示系统函数，也称传输函数 和转移函数，但单位冲激响应函数仅仅表示线性时不变 系统，而且仅仅表示系统的零状态响应，

5、函数 称为Dirac Delta函数求解系统相应解微分方程，完整的系统相应包括零输入和零状态相应 之和时域卷积，仅仅针对线性时不变系统求解零状态相应1.3 线性时不变系统系统的性质线性时不变性因果性稳定性1.3 线性时不变系统群时延的重要意义系统函数的频域表示幅度对应滤波特性相位对应群时延特性对于一个系统，如果要求信号无失真通过系统，要 求系统信号带宽内，是线性相位的，即群时延是常数， 或者说相位特性是直线1.4 函数构成的线性空间线性空间的概念线性空间是一种集合，其中，任意两个元素相加，可构 成该集合中另一个元素，而任意一个元素与一个数相乘 后，可以得到集合中另一个元素，常见的线性空间包括

6、N维矢量构成的实数或者复数空间，连续时间函数构成 的连续时间信号空间，离散时间序列构成的离散时间信 号空间1.4 函数构成的线性空间信号空间范数信号1范数表示信号大小，2范数表 示信号能量， 范数表示信号可测最 大峰值1.4 函数构成的线性空间函数的几个概念函数内积函数x在函数y上的投影为cy，则函数相关系数 ，函数相干 函数在区间t1,t2上正交条件1.4 函数构成的线性空间正交函数集假设有n个函数 构成一个函 数集合，这些函数在区间t1,t2上满足如下条件，就称 为正交函数集某个空间中任何一个函数在区间t1,t2内，都可以用n个 正交函数的线性叠加来表示，则这n个正交函数构成该 空间内的完

7、备正交函数集，即空间的基1.4 函数构成的线性空间从函数的正交分解可以看出，函数等于该函数在各个 基上投影的叠加 基对应的系数为该函数在该基上的坐标 Parseval定理源自正交分解中的Parseval方程2 随机信号基本分析方法2.1 离散随机变量随机变量的含义随机变量是对随机事件的描述，严格地说，它是随机事 件样本和一个实数的间的映射或者函数，通常用X表 示。如果样本空间为S，对应数的集合为R，则随机变量 其实是X：SR。2.1 离散随机变量概率描述离散随机变量的概率称为probability mass function (p.m.f)， 即每个样本对应的实数发生的概率统计量期望expec

8、tation，均值mean方差variancen阶矩moment 2.2 连续随机变量对于连续随机变量，显然随机变量等于某个具体值的 概率为0，所以，不能以离散随机变量的方式描述连续 随机变量。采用密度的概念，定义probability density function（p.d.f），即f(x)，随机变量落入某个区间 x1,x2的概率为该p.d.f在定义区间上的积分 特殊情况是x1为无穷小的情况，此时定义cumulative distribution function（c.d.f）为2.2 连续随机变量统计量期望，均值方差 n阶矩2.3 连续随机变量多维随机变量联合累积分布函数 joint c

9、umulative distribution function联合概率密度函数 joint probability density function2.3 连续随机变量多维随机变量边缘累积分布函数边缘概率密度函数2.3 连续随机变量多维随机变量条件累积分布函数条件概率密度函数2.3 连续随机变量多维随机变量的统计量联合矩联合中心矩2.3 连续随机变量多维随机变量的统计量变量的相关方差和协方差相关系数2.3 连续随机变量多维随机变量的关系统计独立不相关正交独立与相关两个随机变量统计独立必然不相关两个随机变量不相关不一定独立，但如果两个随机变量是高 斯分布，不相关必然统计独立2.4 连续随机过程随

10、机过程定义随机过程是在某个样本空间S中定义的样本函数的集合 ，通常用X(t)表示，对应的样本记为x1(t)如果考察摸个时刻t1，该时刻所有样本的值构成一个随 机变量X(t1)。利用随机变量的描述方法，可以定义随机过程X(t)的一 阶累积分布函数2.4 连续随机过程随机过程概率函数利用随机变量的描述方法，可以定义随机过程X(t)的一 阶累积分布函数利用二维随机变量的描述方法，二阶联合累积分布函数随机过程的多维联合累积分布函数2.4 连续随机过程随机过程概率函数利用随机变量的描述方法，可以定义随机过程X(t)的一 阶概率密度函数利用二维随机变量的描述方法，二阶联合概率密度函数随机过程的多维联合概率

11、密度函数2.4 连续随机过程严格平稳随机过程如果一个随机过程的统计，不随时间变化而变化，或者 说所有边界和联合概率密度函数、统计量不随时间变化 而变化，则称这个随机过程为严格平稳随机过程广义平稳随机过程如果一个随机过程是一阶平稳随机过程，即一阶概率密 度函数和一阶统计量不随时间变化而变化，称为广义平 稳随机过程或宽平稳随机过程2.4 连续随机过程平稳随机过程基本性质2.4 连续随机过程各态历经随机过程统计量是指随机过程在某个时刻，按照随机变量的统计 量计算方法定义的相关统计参数，比如期望，方差，相 关时间平均量是针对一个样本，按照时间分布来计算的相 关参数，比如如果一个随机过程的时间平均量和对

12、应的统计平均量相 等，这样的随机过程就称为各态历经随机过程2.4 连续随机过程随机过程频域特征一个确定的信号的Fourier变换要求绝对可积，但对于随 机信号，一般而言，即不是确定的，也不是绝对可积的但如果取一个样本的区间-T,T内的信号，却可以做 Fourier变换, 可以看做一个在 处对应的 随机变量根据Parseval定理，样本的平均功率为随机过程的平均功率则是样本平均功率的统计平均2.4 连续随机过程随机过程的功率谱密度函数定义Wiener-Khinchine定理随机过程自相关的时间平均的Fourier变换是功率谱密度 函数，对平稳随机过程，就是自相关函数的Fourier变换3 数字信

13、号基本分析方法3.1 数字信号的描述离散信号的时域表示对信号x(t)进行采样后的信号为离散信号s(t)，该信号可 以表示为其中，函数 叫作Kronecker Delta funciton为了表示方便，通常用序列表示s(t)，即x(k)3.1 数字信号的描述离散信号的DTFT: Discrete Time Fourier Transform对离散序列s(t)进行Fourier变换 可以看出，离散信号频谱（密度 ）是连续信号频谱以 为 周期的延拓同时，离散信号频谱幅度为原来 的3.1 数字信号的描述DTFT定义如果取 ，上述时域信号s(t)的Fourier变换 可以表示为更为简单的方式，称为序列的

14、DTFT数字域的频率与模拟域频率关系为此时，序列x(k)的数字域频谱以 为周期3.1 数字信号的描述有限长序列的DFT：Discrete Fourier Transform由于序列的DTFT是周期的，所以，取其一个周期内的 谱线，就可以完全恢复原有信号而不丢失任何信息。同时，一个周期内的DTFT函数是连续函数，同样可以 进行采样，得到离散的序列，此时，取采样点数为N。 N可以等于序列长度，也可以大于序列长度。有限长序列的FFT：Fast Discrete Fourier Transform通过蝶形运算计算DFT的方法称为FFT3.1 数字信号的描述有限长序列的频谱有限长序列的DFT称为该序列的

15、频谱密度函数，简称频 谱函数。同模拟域相同，也分幅度和相位频谱一个数字系统的频谱也是该系统的系统函数的DFT， DFT是周期的，所以，系统函数的滤波特性也是考察一 个周期根据序列频谱周期性，定义 的区间为频谱的 第一Nyquist域， 为第二Nyquist域，以 此类推。而频率点 称为Nyquist频率。 3.1 数字信号的描述序列能量定义离散信号Parseval定理3.2 数字系统的描述线性时不变系统差分方程系统函数3.2 数字系统的描述系统的特性线性时不变性因果稳定性3.3 ADC的使用ADC的描述分辨率采样率全功率带宽无杂散动态有效比特位误差编码方式3.4 DAC的使用方法DAC的描述方法分辨率采样率全功率带宽无杂散动态有效比特位误差编码方式