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1、诊断基础知识突破高频考点培养解题能力第3讲 数学归纳法及其应用诊断基础知识突破高频考点培养解题能力最新考纲1了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力知 识 梳 理1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立取第一个值n0(n0N*)nk1诊断基础知识突破高频考点培养解题能力2数学归纳法的框图表示诊断基础知识突破高频考点培养解题能力辨 析 感 悟1
2、数学归纳法原理(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力感悟提升1数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据2在用数学归纳法证明时，第(1)步验算nn0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值，如(4)，检验n的值从n3开始，因此(1)不正确第(2)步，证明nk1时命题也成立
3、的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法，如(3).诊断基础知识突破高频考点培养解题能力考点一 用数学归纳法证明等式【例1】 (2012天津卷改编)已知等差数列an的公差为3，其前n项和为Sn，等比数列bn的公比为2，且a1b12.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tnanb1an1b2a1bn，nN*，证明Tn122an10bn(nN*)审题路线 (1)代入等差、等比数列的通项公式求an，bn；(2)注意到所证结论是关于“n”的命题，可运用数学归纳法证明诊断基础知识突破高频考点培养解题能力(1)解 由a12，公差d3，ana1(n1)d3n1.在等比数列bn中，公比q2，首项
4、b12，bn22n12n.(2)证明 当n1时，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；假设当nk时等式成立，即Tk122ak10bk，当nk1时，诊断基础知识突破高频考点培养解题能力Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112，即Tk1122ak110bk1.因此nk1时等式也成立由、可知，对任意nN*，Tn122an10bn成立诊断基础知识突破高频考点培养解题能力规律方法 (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等
5、式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少(2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【训练1】 求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)证明 (1)当n1时，等式左边2，右边2112，等式成立(2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)当nk1时，左边(k2)(k3)2k(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)22k135(2k1)(2k1)2k1135(2k1
6、)(2k1)这就是说当nk1时，等式成立根据(1)、(2)知，对nN*，原等式成立诊断基础知识突破高频考点培养解题能力考点二 用数学归纳法证明不等式诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力规律方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【训练2】 若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐
7、标，试运用数学归纳法证明：2xnxn13.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力考点三 归纳猜想证明审题路线 从特殊入手，正确计算a1，a2，a3，探求an与n的一般关系运用数学归纳法严格证明诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力规律方法 “归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性诊断基础知识突破高频考点培养解题能力解 f(x)x21，an1f(an1
8、)，an1(an1)21.函数g(x)(x1)21x22x在区间1，)上单调递增，于是由a11，得a2(a11)21221，进而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：诊断基础知识突破高频考点培养解题能力(1)当n1时，a12111，结论成立；(2)假设nk(k1且kN*)时结论成立，即ak2k1，当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak1(ak1)2122k12k11，当nk1时，结论也成立由(1)、(2)知，对任意nN*，都有an2n1.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力1在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可在较
9、复杂的式子中，注意由nk到nk1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法2对于证明等式问题，在证nk1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法诊断基础知识突破高频考点培养解题能力3归纳猜想证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写诊断基础知识突破高频考点培养解题能力答题模板14数学归纳法在数列问题中的应用诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力
