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1、数学命题 一、判断与命题 1判断 判断是对思维对象有所断定的一种思维形 式。这里所说的断定,就是“肯定”或“否定” 事物的某种性质或事物之间有某种关系。 如: 是无理数;它不是一位教师。 判断作为一种思维形式,具有两个基本的 逻辑特征: (1)必须有断定。 凡判断不是肯定某种事物的情况,就是 否定某种情况。不作肯定或否定的不是判 断。如三角形ABC是等腰三角形吗?雪是 白色的吗?都不是判断。 (2)必须有真假。 如果一个判断符合客观现实情况,那么 这个判断是真实的;否则就是假的。例如 ,“1是质数”就是一个假判断。 2判断的种类 判断可按不同标准进行分类,首先按判断 本身是否还包括其它判断,把
2、一切判断分 为简单判断和复合判断。 简单判断 本身不再含有其它判断的判断,在简单判 断中,可按其判断内容分为性质判断和关 系判断 复合判断本身还包含其它判断的判断, 在复合判断中,按照组成复合判 断的各简单判断之间的结合情况 如何,将其区分为负判断、联言 判断、选言判断、假言判断等, 我们这里不一一介绍。 3命题及其基本运算 (1)命题的意义 表达判断的陈述语句叫命题。在数学中, 每一个数学判断的陈述语句,都称为数学命 题。数学命题往往用特有的数学语言组合起 来进行陈述。如: 32; ABC是直角三角形。 命题的基本特征是:要么是真,要么是假, 不能又真又假。如:x+2=5和x5不能判断 真假
3、,所以它们不是命题。当命题是真命题时,我们称这个命 题的值为1,当命题为假时,我们称命 题的值为0。这就给命题赋予了真值。 命题可用字母A、B、C或p、q、 r等表示。 (2)命题的基本运算 所谓命题的基本运算,就是将命题用逻辑联 词联结起来,构建新的命题。命题的基本运 算包括以下几种情况: 10 否定(非) 给定命题p,在其前面加上“并非”两字, 就构成新命题“并非p”,叫做命题p的否定 ,记作p,读作“非p”。p q pq1 1 11 0 00 1 10 0 1二、命题运算应用举例运用以上的五种逻辑联词及真值表, 可以进行命题的多种复合运算。在运 算的过程中,还要应用逻辑运算律, 这里不做
4、介绍(可参阅有关的逻辑学 文献)。这里介绍中学数学中关于命 题运算的应用。2合并命题中学数学教材中是把平行线的两个性质 定理分开来叙述的:“若两直线平行,则同 位角相等”;“若两直线平行,则内错角相 等”,为了简化叙述,可以把这两个定理合 并成一个,合并方法如下:设p:两直线平行;q1:同位角相等;q2:内错角相等。3逆命题的制作逆命题是相对于原命题而言的一种命 题形式,交换原命题的题设和结论后即 得逆命题。而当命题的条件和结论都是 合取式时,对等交换条件和结论分支命 题所得的新命题就不能称作逆命题,而 应称为偏逆命题。 数学推理 一、推理的意义 数学中的推理是由一个或几个命题得到一 个新命题
5、的思维形式。 例如:等腰三角形的两底角相等, 因为ABC是等腰三角形, 所以ABC两底角相等。 这是一个推理,是由、得出一个新命题 的推理。 又如:(1)矩形的对角线相等, (2)正方形是矩形, 所以(3)正方形对角线相等。 也是一个推理。 从以上的推理可看出,推理的结构是由前提 、结论和推理形式三部分组成。作为推理出 发点的命题,称为前提,如以上两个推理“ 所以”前面的已知命题都是前提。由前提派 生得到的新命题,称为结论。以上推理中,“所以”后面的命题是结 论。由前提派生结论的方式,即前提与结 论之间的联系关系,称为推理形式。推理 形式是舍去具体的推理内容,由特定形式 的命题排列而成的,如上
6、面两个例题中具 有共同的推理形式:pq,spsq按推理中表现的思维进程看,有以 下三种情况的推理,从一般到特殊的 推理、从特殊到一般的推理、从特殊 到特殊的推理。由此可将推理分为演 绎推理、归纳推理和类比推理。三、推理的类型 按照推理结果的确信程度的不同,用 二分法可以把推理分为两大类:论证 推理和似真推理(波利亚称其为合情 推理)。 论证推理是当推理的前提为真时,结 论一定为真的推理。前提和结论的真 假关系是必然关系。论证推理是进行 证明必备的工具。似真推理是当推理的前提为真时, 结论可能是真也可能是假,前提和结 论的真假关系是或然关系。似真推理 能不断逼近结论,促使发现结论,不 断提高结论的信任度,但并未最后证 明结论。论证推理的主要类型有演绎推理和 完全归纳推理;似真推理的主要类型 是不完全归纳推理和类比推理。下面 我们来介绍这几种推理方法。