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1、一、行列式 二、矩阵 三、向量之间的关系 四、线性方程组的解 五、特征值与特征向量上页返回下页线性代数总复习一、行列式1、二阶三阶行列式的计算上页返回下页线性代数总复习2、n阶行列式的计算性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等.性质性质2 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.性质 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零(1) 利用行列式的性质计算（化为三角形）上页返回下页线性代数总复习性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和.性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然
2、后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变上页返回下页线性代数总复习例 计算行列式解上页返回下页线性代数总复习上页返回下页线性代数总复习(2) 利用行列式展开计算定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即上页返回下页线性代数总复习例上页返回下页线性代数总复习上页返回下页线性代数总复习二、矩阵1、矩阵的逆的求法（1）公式法（伴随法）上页返回下页线性代数总复习（2）初等变换法行的初等变换上页返回下页线性代数总复习例1 求方阵 的逆矩阵.解（公式法）上页返回下页线性代数总复习上页返回下页线性代数总复习故上页返回下页线性代数总复习（初等变换法）上页返回下页线性代数总
3、复习上页返回下页线性代数总复习即初等行变换上页返回下页线性代数总复习2、矩阵的秩矩阵秩的求法把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.上页返回下页线性代数总复习例解上页返回下页线性代数总复习上页返回下页线性代数总复习上页返回下页线性代数总复习三、向量之间的关系1、线性组合向量 能 由向量组 线性表示定义上页返回下页线性代数总复习存在矩阵 ， 使得矩阵方程有解判定线性表示能由上页返回下页线性代数总复习线性表示存在矩阵 ， 使得矩阵方程有解上页返回下页线性代数总复习例设证明向量 能由向量组 线性表示，并 求表示式。解只需证矩阵与矩阵有相同的秩。下面把矩阵 化为
4、行最简形：法一上页返回下页线性代数总复习行的初等变换向量 可由向量组 线性表示。上页返回下页线性代数总复习由最简形知，方程组的通解为从而其中 为任意常数。上页返回下页线性代数总复习法二设即也即上页返回下页线性代数总复习其中 为任意常数。解得其通解为故向量 可由向量组 线性表示，且其中 为任意常数。上页返回下页线性代数总复习定义则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关2、线性相关性上页返回下页线性代数总复习定理判定上页返回下页线性代数总复习上页返回下页线性代数总复习例1上页返回下页线性代数总复习上页返回下页线性代数总复习解上页返回下页线性代数总复习上页返回下页线性代数总复习3、最大无关组及向量
5、组的秩设有向量组 ， 满足下面两个条件：如果能在 中选出 个向量（1）向量组 线性无关；线性表示。（2）向量组 中的每一个向量都能由向量组则称向量组 为向量组 的最大无关组。 最大无关组所含向量的个数 称为向量组的秩。上页返回下页线性代数总复习向量组的秩的求法向量组 的秩的秩矩阵最大无关组的求法上页返回下页线性代数总复习上页返回下页线性代数总复习且 列向量组的一个最大无关组为上页返回下页线性代数总复习因此上页返回下页线性代数总复习四、线性方程组的解定理 元线性方程组1)有唯一解2) 无解3)无穷多解定理 元齐次线性方程组 有非零解上页返回下页线性代数总复习定理 设矩阵 的秩 ， 则齐次线性 的
6、解集 的秩为线性方程组其中 为任意实数。非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的一个特解为齐次线性方程组的基础解系为则非齐次线性方程组的解解为上页返回下页线性代数总复习例 解非齐次方程组解：上页返回下页线性代数总复习令则为任意常数）法1：上页返回下页线性代数总复习法2： 令得又原方程组对应的齐次方程组的通解是令得基础解系所以原方程组的通解是为任意常数）上页返回下页线性代数总复习五、特征值与特征向量（1）如何求 的特征值？解特征方程 特征方程的根即为矩阵 的特征值。（2）如何求属于特征值 的特征向量？解齐次线性方程组 其非零解即为属于特征值 的特征向量1、特征值与特征向量的求法上页返回下页线性代
7、数总复习例 设求A的特征值与特征向量解上页返回下页线性代数总复习上页返回下页线性代数总复习得基础解系为：上页返回下页线性代数总复习使得 则若存在可逆矩阵 ，（1） 为矩阵 的特征值（2） 为对应于特征值 的特征向量。2、方阵的对角化上页返回下页线性代数总复习A能否对角化？若能对角例解上页返回下页线性代数总复习解之得基础解系上页返回下页线性代数总复习所以 可对角化.上页返回下页线性代数总复习注意即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应上页返回下页线性代数总复习3、实对称矩阵的对角化上页返回下页线性代数总复习利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.具体步骤为：上页返回下页线性代数总复习例 设求正交矩阵 ，使得 为对角阵。解：上页返回下页线性代数总复习当 时，齐次线性方程组为得基础解系令上页返回下页线性代数总复习令先正交化：再单位化：令上页返回下页线性代数总复习当 时，齐次线性方程组为令得基础解系单位化得上页返回下页线性代数总复习得正交矩阵有上页返回下页线性代数总复习上页返回下页线性代数总复习考试安排第十六周周五3、4节课（6月10日）1、2班：教学5号楼2023、4班：教学5号楼204
