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1、时间序列分析Time Series Analysis 引言 时间序列分析主要研究具有随机性的时间序列分析主要研究具有随机性的 动态数据。动态数据。 方法：方法： 1 频域法频域法 2 时域法时域法 第一章第一章 平稳时间序列平稳时间序列 时间序列定义：依时间变化而又相互关联时间序列定义：依时间变化而又相互关联 的的数据序列。或，按时间次数据序列。或，按时间次 序序排列的观测值集合。排列的观测值集合。 时间序列分析：对时间序列进行统计分析。时间序列分析：对时间序列进行统计分析。1.1 时间序列分析实例时间序列分析实例 一、例一、例 例例 1.美国美国 CPI 和和 WPI 统计曲线统计曲线(19
2、65.7-1970.4)140 120 120100 100 80 80 00 例例 2.某国际航空公司客票月总数某国际航空公司客票月总数(1949.1-1960.12)Vt 千张千张600500400300200100 12 24 36 48 60 72 84 86 108 120 132 144 t例例 3.3. 我国我国 1971.1-1981.121971.1-1981.12 铁路客流曲线铁路客流曲线9 98 87 76 65 54 4例例 4.4.白噪声序列白噪声序列例例 5.5.某地区雨量数据序列某地区雨量数据序列例例 6.6.某地区人口总数序列表某地区人口总数序列表(1790-1
3、980)(1790-1980)240240200200160160120120808040400 0例例 7.7.某化学反应中输入和输出气体数据某化学反应中输入和输出气体数据二、时间序列分析的步骤二、时间序列分析的步骤 描述描述: :建模、辩识建模、辩识 推断推断: :参数估计参数估计 预报预报: :预测预测 控制控制: :调整某些量，达到优化目的。调整某些量，达到优化目的。假设模型通用类假设模型通用类辩识试用模型辩识试用模型估计试用模型的参估计试用模型的参数数诊断检验诊断检验预测与控制预测与控制 1.21.2 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 一、一、定义定义 1.2.11.2.1 设给
4、定概率空间设给定概率空间( () )及及PF,指标集指标集, ,如果对每一如果对每一, ,有一有一RT Tt定义在定义在( () )上的随机变量上的随机变量PF,与之对应与之对应, ,那么随机变量族那么随机变量族),(tX(1.2.1)(1.2.1)TtXt),(称为定义在称为定义在( () )上的随机过程上的随机过程. .PF,将将(1.2.1)(1.2.1)简记为简记为或或. .TtXt, tX若若是整数集或非负整数集是整数集或非负整数集, ,则称则称T 为随机序列为随机序列, ,也称为时间序列也称为时间序列. .TtXt,例例 1.1.设设是取值为是取值为 1 1 或或-1-1 的的,
5、2 , 1, tXt独立随机变量序列独立随机变量序列, ,有有(1.2.2)(1.2.2)2111ttXPXP则存在概率空间则存在概率空间( () )及定义在及定义在PF,上的随机变量上的随机变量使使( () )的的,21XXnXXX,21联合概率分布联合概率分布(1.2.3)(1.2.3)n nniXiXiXP2,2211为一随机过程为一随机过程. .其中其中. .1ji1jinj, 2 , 1例例 2.2.随机相位和振幅的正弦波随机相位和振幅的正弦波(1.2.4)(1.2.4)(cos()()(1vtArXt为相互独立的随机变量为相互独立的随机变量, ,服从服从,A, 0A0,20,2 上
6、的均匀分布上的均匀分布, , 0, 0 rv例例 3.3.随机游动随机游动, ,且且, 2 , 1 , 0, tSt(1.2.5)(1.2.5)0 1 tXStiit其中其中. .由例由例 1 1 定义定义. .tiXSt, 2 , 1, 00例例 4.4. 分支过程分支过程, ,近似描述动物增长数近似描述动物增长数 据模型据模型, , , 2 , 1 , 0, tXt(1.2.6)(1.2.6) tXjjttZX 1,1, 2 , 1 , 0t( (第第 0 0 代人口总数代人口总数) )xX0其中其中, ,是独立同分布取是独立同分布取, 2 , 1, 2 , 1 , 0,jtZjt 非负整
7、数的随机变量非负整数的随机变量, ,表示第表示第 代第代第 个个jtZ,tj个体产生的下一代的个数个体产生的下一代的个数. . 二、二、( (一一) )随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族 定义定义 1.2.21.2.2 令令 , 2 , 1,),(:2121 ntttTtttttJnn n 称称为随机过程为随机过程的有限分的有限分JtFt),(TtXt,布函数族，特别当布函数族，特别当时时),(21ntttt nT nntttRxxxxxXxXpxFn),(,)(2111(1.2.7)(1.2.7) 为随机过程为随机过程的的 n n 维分布函数族维分布函数族. .TtXt,它
8、有如下性质它有如下性质( (相容性条件相容性条件) )1.1.对对的任一排列的任一排列有有),(1ntt ),(1niitt),(),(2111),(21),(nniiniiittnttxxxFxxxF2.2.若若, ,则则nm ),(lim),(1,1,1,111nmmttxxmttxxxxFxxFnnmm定理定理 1.2.11.2.1(kolmogorov)(kolmogorov)分布函数族分布函数族 是随机过程是随机过程的有限分布的有限分布JtFt),(TtXt,维函数族的充分必要条件是维函数族的充分必要条件是, ,对任意对任意 , 2 , 1n 以及以及, ,有有Jttttn),(21
9、ni 1(1.2.8)(1.2.8)()(lim)(ixFxFittxi 成立成立, ,其中其中和和是分别由是分别由 和和删去第删去第)(it)(ixtx个分量而得到的个分量而得到的(n-1)(n-1)维向量维向量. .i ( (二二) )有限维特征函数族有限维特征函数族令令是相应于是相应于的特征函数的特征函数, ,则称则称)(t)(tF为随机过程为随机过程的有限维特征的有限维特征Jtt),(TtXt,函数族函数族. .特别当特别当时时, ,称称),(1ntttnT nnt Riux tRuuuxxdFeu n),(),()(11为随机过程为随机过程的的 n n 维特征数维特征数.(1.2.8
10、).(1.2.8)TtXt,式与下式等价式与下式等价(1.2.9)(1.2.9)()(lim 0iuuttui 二、二、宽平稳过程与严平稳过程宽平稳过程与严平稳过程 （一）（一）随机过程的数字特征随机过程的数字特征 1 1实数域：设实数域：设为随机过程，则为随机过程，则TtXt,的的 tX均值函数均值函数定义为定义为)(XmtXEXtm)(自协方差函数自协方差函数定义为定义为),( X)()(),cov(),(smXrmXEXXsrXsXrsrXTsr,（1.2.101.2.10）称称为为的方参函数的方参函数. .TttttDXX),()( tX2 2复数域复数域: :如果如果满足满足 tXT
11、tiZYXttt,其中其中为实值随机过程为实值随机过程, ,则称则称TtYt,TtZt,为复值随机过程为复值随机过程, ,此时此时(1.2.10)(1.2.10)式式TtXt,为为)()(),cov(),(smXrmXEXXsrXsXrsrXTsr,(1.2.11)(1.2.11)TttmXEtDXtX,)()(2由由 Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz 不等式知，如果不等式知，如果，则，则和和存在。存在。TtXEt,2)(Xm),( X宽平稳过程宽平稳过程. . 定义定义 1.2.31.2.3 设设是复值随机过程是复值随机过程, ,其其TtXt,均值函数与协方差函数存在
12、均值函数与协方差函数存在, ,并满足并满足 TtmEXt,TtstrsrtstrsrXX,),(),(成立成立, ,则称则称为宽平稳过程为宽平稳过程. .TtXt,严平稳过程严平稳过程. . 定义定义 1.2.41.2.4 设设是复值随机过程是复值随机过程, ,如如TtXt,果它的一切有限维分布函数果它的一切有限维分布函数对时间推对时间推)(xFt移不变移不变, ,即对任意即对任意 n,n, 有有ThthtTttnn,1, 1)()(xFxFtht则称则称为严平稳过程为严平稳过程. .TtXt,例例 1.1.白噪声序列白噪声序列, ,设设为互不相关的为互不相关的ZtZt,实值随机变量序列实值随
13、机变量序列, , ,其自协方其自协方0tEZ差函数为差函数为(1.2.14)(1.2.14)0, 00,)(2hhh为平稳时间序列为平稳时间序列 例例 2.2.滑动平均序列滑动平均序列, ,设设, ,定义定义 ), 0(2WNZt(1.2.15)(1.2.15), 2, 1, 0, 0tZQXktqkkt其中其中是实数列是实数列, ,则则是时间平稳是时间平稳 kQZtXt,序列序列. . 例例 3.3.设设, ,其中其中是互不是互不tBtAXtsincosBA,相关的随机变量相关的随机变量, , 1)()(, 0BDADEBEA则随机过程则随机过程是平稳过程是平稳过程. .TtXt,例例 4.
14、4.设设是随机游动是随机游动, ,ZtXt, titttXS 11,其中其中是独立同分布随机变量是独立同分布随机变量, ,21XX当当时时, 2 , 1, 022iDXEXtt0h211),(),(tXXCovSSCovtjjhtiitht 定义定义 1.2.51.2.5 设设是实随机过程是实随机过程, ,如果对如果对 tX是是 n n 维正态随维正态随),( ,121nttnXXTtttZn机向量机向量, ,则称则称为正态过程为正态过程. .其等价定义其等价定义 tX定义定义 1.2.61.2.6 设设是实随机过程是实随机过程, ,如果对如果对 tX的特征函数的特征函数),( ,121nttnXXTtttZn(1.2.6)(1.2.6)TTuuiauteu21 )(其中其中, ,为实为实),(,),(2121nn naaaaRuuuu向量向量, ,为实对称非负定矩阵为实对称非负定矩阵, ,则则为正态为正态 tX过程过程. .1.31.3 平稳过程的自协方差函数平
