利用函数思想解题策略

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1、1利用函数思想解题策略刘厚顺刘厚顺函数是高中数学中的重要内容，函数思想是最基本的数学思想函数 的有关概念、性质以及几类典型的常用函数是函数思想的载体，解题时可 利用的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续 性、特殊点处的函数值、函数图象的变化趋势、函数图象的某种对称性等 去解决问题 1 1利用函数概念利用函数概念 例例 1 1 曲线 C 是定义在 R 上的函数 yf(x)的图象，则( ) A曲线 C 与直线 x1 可能有两个交点 B曲线 C 与直线 x1 一定 有一个交点 C曲线 C 与直线 x1 一定有两个交点 D曲线 C 与直线 y1 有且 仅有一个交点 分析与解：分析

2、与解：对于函数 y=f(x)定义域为 A，值域为 B，则对任 xA，都 有唯一的 yB 与之相对应，故选 B 例例 2 2 若函数 yf(x)存在反函数，则方程 f(x)C(C 为常数) A有且只有一个实根 B至少有一个实根 C至多有一个实根 D没有实根 分析与解：分析与解：函数 yf(x)存在反函数，则此函数的对应必是一对一的， 若 C 在函数 f(x)的值域中，则必有唯一实根，若 C 不在函数 f(x)的值域中， 则无实根，选 C 2 2利用函数的奇偶性利用函数的奇偶性 奇偶性(即对称性)是函数的又一重要性质，常利用它进行区间过渡， 即将不同区间的问题转化到同一区间中进行研究，从而达到化难

3、为易之目 的 (1)(1)利用函数奇偶性解方程利用函数奇偶性解方程( (组组) ) 例例 3 3 解方程 (3x3-4)3+4x3+x-4=0 (只求实数根) 分析与解：分析与解：原方程可变为(3x3-4)3+(3x3-4)=-(x3+x).，令 f(x)=x3+x，易证 f(x)是奇函数且在 R 上是增函数，方程就是 f(3x3-4) =-f(x)=f(-x)。由 f(x)的单调性知 3x3-4=-x，即 3x3+x-4=0，此方程显然 有一根为 1，故原方程就是(x-1)(3x2+3x+1)=0，因为 3x2+3x+1=0 无实根， 所以 x=1 为原方程的实数根。 （2 2）利用函数奇偶

4、性求值）利用函数奇偶性求值 例例 4 4设 (2-3sinx+4sin2x+5sin3x)7(2+3sinx+4sin2x- 5sin3x)7=a0+a1sinx+a2sin2x+ +a42sin42x, 求 a1+a5+a9+a41的值。分析与解：分析与解： 令 f(x)=(2-3sinx+4sin2x+5sin3x)7(2+3sinx+4sin2x-5sin3x)7 = a0+a1sinx+a2sin2x+a42sin42x, 易证 f(x)是 R 上的偶函数，故 a1=a3=a5=a41=0，2所以 a1+a5+a9+a41=0. （3 3）利用函数奇偶性证明不等式）利用函数奇偶性证明不

5、等式例例 5 5求证：0 时，1-4x0，且 a1，试比较 xloga(1-x)与 xloga(1+x)的大 小。分析与解：分析与解：设 f(x)=xloga(1-x)-xloga(1+x)=xlogaxx 11 . 因为 f(x)=-xlogaxx 11 =-xloga(xx 11 )-1=xlogaxx 11 =f(x)，所以 f(x)是 偶函数，图像关于 y 轴对称。若 a1，由已知得-11，所以logaxx 11 0, xlogaxx 11 xloga(1+x).3综上，当 a1 时，xloga(1-x)xloga(1+x). 3 3利用函数的单调性利用函数的单调性 单调性是函数的重要

6、性质，某些数学问题，通过函数的单调性，可将 函数值间的关系转化为自变量间的关系研究，从而达到化繁为简的目的。 特别是在比较数式大小，证明不等式，求值或最值，解方程（组）等方面 应用十分广泛。例例 8 8已知不等式121 21 31 21 11nnnnloga(a-1)+32 对于一 切大于 1 的自然数 n 都成立，求实数 a 的取值范围。 分析：分析：注意到不等式仅仅左边是与 n 有关的式子，从函数的观点看， 左边是关于 n 的函数，要使原不等式成立，转化为这函数的最小值大于右 式，如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此 函数的单调性入手。解：解：设 f(n)= nnn

7、n21 31 21 11(nN, n2).f(n+1)-f(n)=() 1(21 31 21 nnn )-(nnn21 21 11)=11 221 121 nnn=)22)(12(1 nn0, f(n)是关于 n(nN,n2）的递增函数，则 f(n)f(2)=127 .要使不等式成立，只须121 loga(a-1)+32 0，且 a1，易得函数定义域为 x1，即 ax+1.解：解：令 y1=52 x，y2=x+1，在同一坐标系内 画出这两个函数的图象（如图 1） ，然后“看图说 话” ，找出 y1在图象在 y2的图象上方时所对应的 x 的集合。易得，原不等式解集为-25 ,2). 例例 131

8、3已知 n 为正整数，实数 a1，解关于 x 的不等式。 xalog-4xa2logxa3log12xnnanlog)2(13)2(1nloga(x2-a).(1991 年全国高考理 25 题) 解：解：将原来不等式化简得3)2(1nlogax3)2(1nloga(x2- a).(1) 作函数 y1=x 和 y2=x2-a 的图象（如右图）因 x0，且 x2-a0, xa. 由 x=x2-a 解得两图象交点的横坐标为 x0=2411a , 因而当 n 为奇数时(1)axxax2此时原不等式解集为x|a2411a 。 6 6利用函数的值域利用函数的值域 求函数的值域，涉及到众多数学知识，构成了中

9、学数学的重要横向知 识体系，同时也为利用函数值域解题提供了广阔的天地，尤其对某些含参5数的不等式，在分离参数的基础上，通过求函数的值域进而达到确定参数 的取值范围，从而避免了对参数的繁锁讨论。例例 1414已知不等式 1cos2x+sinx+a417 ,对于一切 xR 恒成立，求 a 的取值范围。解：解：令 f(x)=cos2x+sinx+a=-sin2x+sinx+1+a=-(sinx-21 )2+45 +a. fmin(x)=-1+a, fmax(x)=45 +a. 要使命题成立，只须417)(1)(maxminxfxf即417 4511aa解得 2a3. 例例 1515若方程 sin2x

10、+cosx+a=0 有解，求实数 a 的取值范围。 解：解：由方程得 a=cos2x-cosx-1，设 f(x)=cos2x-cosx-1, 要方程有解， 只须 a 在 f(x)的值域内即可，而 f(x)=(cosx-21 )2-45 , -1cosx1, -45 f(x)1, -45 a1.例例 1616若 cos2x-32kcosx-4k, x0,4 时恒成立，求实数 k 的范围。解：解：由 cos2x-32kcosx-4k, 得 kxx cos2cos22, x0,2 ,令 f(x)= xx cos2cos22，只须 kfmax(x),而 f(x)= xx cos2cos22=-(2-c

11、osx)+xcos22 +44-22,当 2-cosx=xcos22 即 cosx=2-22时取等号， k4-22. 7 7利用一次函数的保号性利用一次函数的保号性 某此数学问题，通过构造一次函数，将问题转化为判断一次函数 f(x) 在区间a,b上函数值的符号问题，从而使问题获解。 例例 1717若对一切|P|2, PR，不等式(log2x)2+Plog2x+12log2x+P 恒 成立，求实数 x 的范围。 解：解：原不等式整理为 f(P)=(log2x-1)P+(log2x-1)20, 要使 f(P)在-2P2 上恒成立，只须 0)2(0)2( ff， 即 0) 1)(log1(log0)

12、3)(log1(log2222 xxxx解得 log2x3 故 x(0,21 )(8, +).6例例 1818已知|a|a+b+c. 证：构造函数 f(x)=(bc-1)x+2-b-c, 这里|b|0 f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)0 一次函数 f(x)=(bc-1)x+2-b-c, x(-1,1)的图象在 x 轴上方，这 就是说，当|a|0，即 abc+2a+b+c. 8 8利用二次函数的性质利用二次函数的性质 二次函数的应用十分广泛，当所给问题含有形如 m+n=p, mn=q 的等式， 或含有与二次函数的判别式相似的结构时，常可通过构造相关的二次函数 来促使问题的解决

13、。 例例 1919设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)-x=0 的两个根 x1, x2满足 00，二次函数 F1(x)=f(x)-x 的开口向上，其顶点横坐标221xx x1，又 F1(0)=c0，f(x1)=0, 所以当 00，又 x1x2=ac , c-x1=ax1x2-x1=x1(ax2-1)0，及4 3 ，得215 sin243 , e2=(ac )2=ttttb 111sin1sinsinsin 242222, 其中 t=sin2(215 ,43 ，知 f(t)=tt11是增函数，故 f(215 )e2f(43 )即 1e2712 , 1e7212.函数思想作为中学数学的主线，其思想的高瞻性、应用的广泛性、解 法的多样性、思维的创造性确定了它在高考数学试卷中函数的比重仍然很 大，不仅会出现有关函数性质巧妙组合的小题，而且会出现融入各方面知 识的函数的压轴题，考查学生推理、论证的能力，以适合高校选拔人才的 需要。