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1、20122012 年中考数学压轴题年中考数学压轴题专题专题 1 1：函数问题：函数问题 2 21. （2012 福建莆田福建莆田 14 分）分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 四个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点 A。2yaxbxc(a0)(1)(2 分)求 c 的值； (2)(6 分)若 al，且抛物线与矩形有且只有三个交点 A、D、E，求ADE 的面积 S 的最大值；(3)(6 分)若抛物线与矩形有且只有三个交点 A、M、N，线段 MN 的垂直平分线 l 过点 O，交线段 BC 于点F。当 BF1 时，求抛物线的解析式【答案答
2、案】解：(1)抛物线过点 A(0，3)，c3。2yaxbxc(2) al，2yxbx3 如图，当抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、OC 边上时， 抛物线与直线 x6 的交点应落在 C 点或 C 点下方。 当 x6 时，y0。，即。266b3011b2又对称轴在 y 轴右侧，b0。0。11b2由抛物线的对称性可知： 。 bbAD22b2a21 又ADE 的高BC3，Sb3。1 23b20，S 随 b 的增大而增大。3 2当 b时，S 的最大值。11 231133=224如图，当抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、BC 边上时，抛物线与直线x6 的交点应落在线段 BC 上且不
3、与点 B 重合，即 03。Ey当 x6，则，2y66b36b33 06b333，b6。11 2BE3(6b33)366b。SADBEb(366b)3b2+18b。1 21 2对称轴 b3，随 b 的增大而减小。11 2当 b时，S 的最大值。11 233 4综上所述：S 的最大值为。33 4(3)当 a0 时，符合题意要求的抛物线不存在。当 a0 时，符合题意要求的抛物线有两种情况：当点 M、N 分别在 AB、OC 边上时如图过 M 点作 MGOC 于点 G，连接 OMMGOA32MNO90。OF 垂直平分 MNOMON，1MNO=90，12。FB1，FC312。tan1，tan2tan1。F
4、C21 OC63GN GM1 3GNGM1。1 3设 N(n，0)，则 G(n1，0)，M(n1，3)。 AMn1，ONnOM。 在 RtAOM 中，222OMOAAM，解得 n5。 M(4，3)，N(5，0)。222n3n1把 M(4，3)，N(5，0)分别代入，得2yaxby3，解得。316a4b3 025a5b3 3a5 12b5 抛物线的解析式为。2312yxx355 当点 M、N 分别在 AB、BC 边上时如图，连接 MFOF 垂直平分 MN，1NFO90，MFFN。又0CB90，2CFO=90。12。BF1， FC2。tan1tan2。FC21 OC63在 RtMBN，tan1，B
5、N3MB。MB1=BN3设 N(6，n)则 FN2n，BN3 一 n。MF2n，MB。3n11n33 在 RtMBF 中，。222MFMBFB2 2212n1n13解得： (不合题意舍去)，。123nn34，3BM4AM6， M(，3)，N(6，) 。31=5441543 4把 M(，3)，N(6，)分别代人，得1543 42yaxby3，解得 。221213ab344 336a6b34 1a2 21b8 抛物线的解析式为。2121yxx328 综上所述，抛物线的解析式为或2312yxx355 。2121yxx328 【考点考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形
6、的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。【分析分析】（1）将点 A 的坐标代入即可求得 c 的值。2yaxbxc（2）分抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、OC 边上和抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、BC 边两种情况应用二次函数性质分别求解。（3）分抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、OC 边上和抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、BC 边两种情况应用待定系数法分别求解。2. （2012 福建厦门福建厦门 12 分）分）已知点 A(1，c)和点 B (3，d )是直线 yk1xb 与双曲线y（k20）的交k2x点（1）过点 A 作 AM
7、x 轴，垂足为 M，连结 BM若 AMBM，求点 B 的坐标；（2）设点 P 在线段 AB 上，过点 P 作 PEx 轴，垂足为 E，并交双曲线 y（k20）于k2x点 N当 取最大值时，若 PN ，求此时双曲线的解析式PNNE12【答案答案】 （1）解：点 A(1，c)和点 B (3，d )在双曲线 y（k20）上，k2x ck23d 。 k20， c0，d0。 A(1，c)和点 B (3，d )都在第一象限。 AM3d。过点 B 作 BTAM，垂足为 T。 BT2，TMd。 AMBM， BM3d。在 RtBTM 中，TM 2BT2BM2，即 d249d2， d。点 B(3，)。（2） 点
8、A(1，c)、B(3，d)是直线 yk1xb 与双曲线 y（k20）的交点，k2xck2,，3dk2，ck1b，d3k1b。k1 k2，b k2。1343 A(1，c)和点 B (3，d )都在第一象限， 点 P 在第一象限。设 P（x，k1xb） ， x2x x2 x。PENEk1k2bk21343214x2+33当 x1，3 时，1，又当 x2 时， 的最大值是 。PENEPENE431 .。 PENE。PENE43 1。PNNEPENE211x2+33当 x2 时，的最大值是 。PNNE13由题意，此时 PN ， NE 。 点 N(2， ) 。 k23。123232此时双曲线的解析式为
9、y 。3x【考点考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，二次函数的最值。【分析分析】（1）过点 B 作 BTAM，由点 A（1，c）和点 B（3，d）都在双曲线y（k20）上，得到 c=3d，则 A 点坐标为（1，3d），在 RtBTM 中应用勾股定理即k2x可计算出 d 的值，即可确定 B 点坐标。（2）P（x，k1xb），求出关于 x 的二次函数，应用二次函数的最值即可求得PNNE的最大值，此时根据 PN 求得 NE ，从而得到 N(2， )，代入 y即可求得PNNE123232k2xk23。因此求得反比例函数的解析式为 y 。3x3. （2012 甘肃兰州甘肃兰州
10、10 分）分）若 x1、x2是关于一元二次方程 ax2bxc(a0)的两个根，则方程的两个根 x1、x2和系数 a、b、c 有如下关系：x1x2，x1x2把它称为一元二b ac a次方程根与系数关系定理如果设二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)利用根与系数关系定理可以得到 A、B 连个交点间的距离为：AB|x1x2|222 12122b4cb4acx +x4x x =aaa。2b4ac=a参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点 A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为 C，显然A
11、BC 为等腰三角形(1)当ABC 为直角三角形时，求 b24ac 的值；(2)当ABC 为等边三角形时，求 b24ac 的值【答案答案】解：（1）当ABC 为直角三角形时，过 C 作 CEAB 于 E，则 AB2CE。抛物线与 x 轴有两个交点，b24ac0，则|b24ac|b24ac。a0，AB。22b4acb4ac=aa又CE，。224acbb4ac=4a4a22b4acb4ac=2a4a，即。2 2b4acb4ac=222 2b4ac b4ac=4 b24ac0，b24ac4。（2）当ABC 为等边三角形时，由(1)可知 CEAB，3 2。22b4ac3b4ac=4a2ab24ac0，b24ac12。【考点考点】抛物线与 x 轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质。【分析分析】 （1）当ABC 为直角三角形时，由于 ACBC，所以ABC 为等腰直角三角形，过 C 作 CEAB 于 E，则 AB2CE根据本题定理和结论，得到 AB，根据顶2b4ac=a点坐标公式，得到 CE，列出方程，解方程即可求出 b24ac 的值。24acb=4a（2）当ABC 为等边三角形时，解直角ACE，得 CEAB，据此列出方程，3 2解方程即可求出 b24ac 的值。
