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1、第 1 页20042004 年全国高中数学联赛试卷年全国高中数学联赛试卷一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 3636 分，每小题分，每小题 6 6 分）分）1、设锐角使关于 x 的方程有重根，则的弧度数为0cotcos42xxA B。 C。 D。 答： 6 125 12或125 6或122、已知 M=，N=，若对于所有的，均有32| ),(22yxyxbmxyyx| ),(Rm则的取值范围是, NMbA B。 （）C。 （） D。 26,2626,26332,332332,332答： 3、不等式0 的解集是2log211log3212xxA2，3 B。 （2，3） C。2，4 D。 （2
2、，4） 答： 4、设 O 点在ABC 内部，且有，则ABC 的面积与AOC 的面积之比为032OCOBOAA2 B。 C。3 D。 答： 23 355、设三位数，若以为三条边的长可以构成一个abcn cba, 等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有 A45 个 B。81 个 C。165 个 D。216 个 答： 6、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的 点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，ABOB，垂足为 B，OHPB，垂足为 H，且 PA=4，C 是 PA 的中点，则当三棱锥 OHPC 的 体积最大时，OB 的长是A B。 C。 D。 答： 35 352 3
3、6 362二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 5454 分，每小题分，每小题 9 9 分）分） 7、在平面直角坐标系中，函数在一个最小正周期长的区间上xoy)0(cossin)(aaxaxaxf的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是_。1)(2axg8、设函数满足，且对任意的，都有=,:RRf1)0(fRyx,) 1(xyf，则。2)()()(xyfyfxf_)(xf9、如图，正方体中，二面角1111DCBAABCD 的度数是_。11ABDA10、设是给定的奇质数，正整数使得也pkpkk 2是一个正整数，则=_。k11、已知数列满足关系式.,.,210naaaa且，则的值是_。18)
4、6)(3(1nnaa30a niia0112、在平面直角坐标系中，给定两点 M（-1，2）和xoy N（1，4） ，点 P 在 X 轴上移动，当MPN 取最大值时，点 P 的横坐标第 2 页是_。三、解答题（本题满分三、解答题（本题满分 6060 分，每小题分，每小题 2020 分）分）13、一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数nnn之和大于，则算过关。问：n2（）某人在这项游戏中最多能过几关？（）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有 1，2，3，4，5，6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后， 向上一面的点数为出现点数。 ）14、在
5、平面直角坐标系中，给定三点 A（0，） ，B（-1，0） ，C（1，0） 。点 P 到直线 BC 的xoy34距离是该点到直线 AB、AC 距离的等比中顶。（）求点 P 的轨迹方程；（）若直线 L 经过ABC 的内心（设为 D） ，且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 的取值范围。k15、已知、是方程（）的两个不等实根，函数01442 txxRt )(xf的定义域为，。122 xtx（）求);(min)(max)(xfxftg（）证明：对于，若，则)2, 0(iu)3 , 2 , 1( i1sinsinsin321uuu。643 )(tan1 )(tan1 )(tan1321
6、ugugug 20042004 年全国高中数学联赛加试试卷年全国高中数学联赛加试试卷一、 （本题满分 50 分）在锐角ABC 中，AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相 交于点 H，以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点， FG 与 AH 相交于点 K，已知 BC=25，BD=20，BE=7，求 AK 的长。 二、 （本题满分 50 分）在平面直角坐标系中， 轴正半轴上的点列与曲线（0）上的点列xoyy nAxy2x满足，直线在 X 轴上的截距为，点的横坐标为， nBnOBOAnn1nnBAnanBnb。 Nn（）证明4，。na1na Nn（）证明有，使得对都有b，必
7、须满足。此时，不能构成三角形的数码是2baba987654321b4，3 2，14，3 2，13，2 13，2 11，21，211共 20 种情况。同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有种情况。2 3COBCAED第 4 页故。综上，。222 2399(220)6(10)156nCCC12165nnn6 6、解：,ABOBABOPABPBOHPB又。C 是 PA 中点，,PABPOBOHHC OHPA面面OCPA最大，HOCHOHCS当时也即最大。O HPCP HCOVV此时，002,302 6tan303HOOPHPOOBOP1故H O =2故选 D。二、填空题（本题满分二、
8、填空题（本题满分 5454 分，每小题分，每小题 9 9 分）分）7 7、解：，它的最小正周期为，振幅为。21( )1sin(),arctanf xaaxa其中2 a21a 由的图像与的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为、宽为( )f x( )g x2 a的长方形，故它的面积是。21a 221aa8 8、解：,(1)( ) ( )( )2,x yRf xyf x f yf yx对有 (1)( ) ( )( )2f xyf y f xf xy有=( ) ( )( )2f x f yf yx( ) ( )( )2f y f xf xy即。( )( ),0,( )1f xyf yxyf
9、 xx令得9 9、解：连结，垂足为 E，延长 CE 交于 F，则，连结 AE，由对称性1,DC1作C EBD1AB1FEBD知是二面角的平面角。1,AEBDFEA11ABDA连结 AC，设 AB=1，则112,3.ACADBD中，1Rt ABD在112 3AB ADAEBD在22222242213cos4222 3AECEACAEACAECAECAE CEAE 中,的补角，。0120 ,AECFEAAEC而是060FEA1010、解：设，从而是平方数，22 2*224,0,2ppnkpkn nNkpknk则224pnPABOHCCED1C1A1B1ABDF第 5 页设为2*2,(2 )(2 )
10、mmNmn mnp则2221 2123,21 4pmmnppmnppn 是质数，且解得。 （负值舍去）222(1)(1),244pmpppkk故1111、解：设1111,0,1,2,.,(3)(6)18,n nnnbnabb则即1111113610.2,2()333nnnnnnbbbbbb 故数列是公比为 2 的等比数列，13nb 。11 0 01111112 ()2 ()2(21)33333nnnn nnbbba。1 1200111 2(21)1(21)(1)23332 13nnnn in i i oiiibnna 1212、解：经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3
11、x 上，设圆心为S（a，3a） ，则圆 S 的方程为：222()(3)2(1)xayaa 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大MPN 值时，经过 M，N，P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P，即圆 S 的方程中的 a 值必须满足解得 a=1 或 a=7。222(1)(3) ,aa即对应的切点分别为，而过点 M，N，的圆的半径大于过点 M，N，P 的圆的(1,0)( 7,0)PP 和p半径，所以，故点 P（1，0）为所求，所以点 P 的横坐标为 1。MPNMP N 三、解答题（本题满分三、解答题（本题满分 6060 分，每小题分，每小题 2020 分
12、）分）1313、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。（）因骰子出现的点数最大为 6，而，因此，当时，n 次出现的点数之456 42 , 6 52 5n 和大于已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为 0。所以最多只能连过 4 关。2n .5 分（）设事件为“第 n 关过关失败” ，则对立事件为“第 n 关过关成功” 。nAnA第 n 关游戏中，基本事件总数为个。6n 第 1 关：事件所含基本事件数为 2（即出现点数为 1 和 2 这两种情况） ，1A过此关的概率为：。1122()1()163P AP A 第 2 关：事件所含基本事件数为方程当 a 分别取 2，
13、3，4 时的正整数解组数之和。即有2Axya（个） 。111 1231236CCC 过此关的概率为：。 .10 分22265()1()166P AP A 第 6 页第 3 关：事件所含基本事件为方程当 a 分别取 3，4，5，6，7，8 时的正整数解组数3Axyza之和。即有（个） 。222222 2345671 36 10 152156CCCCCC 过此关的概率为：。.15 分3335620()1()1627P AP A 故连过前三关的概率为：。.20 分1232520100()()()3627243P AP AP A（说明：第 2，3 关的基本事件数也可以列举出来）1414、解：（）直线
14、AB、AC、BC 的方程依次为。点到44(1),(1),033yxyxy ( , )P x yAB、AC、BC 的距离依次为。依设，12311|434|,|434|,|55dxydxydy，即2222 123,|16(34) | 25d ddxyy得，化简得点 P 的轨迹方程为22222216(34)250,16(34)250xyyxyy或圆 S：.5 分22222320171280xyyyy2与双曲线T: 8x （）由前知，点 P 的轨迹包含两部分圆 S： 2222320xyy与双曲线 T：2171280yy28x 因为 B（1，0）和 C（1，0）是适合题设条件的点，所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上，且点 P 的轨 迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。的内心 D 也
