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1、 西南交通大学本科毕业论文 第 IV 页摘 要常数变易法是求解微分方程的一种特殊方法，利用常数变易法在解决某些方程特解时简便易用。列举了几种常数变易法区别于教材中的一些用法，并比较了此方法在某些方面的优劣。常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程行之有效的方法。本文从求解一类特殊形式的一阶常微分方程入手,证明了变量分离方程、Bernoulli方程、部分齐次方程以及其它形式的一阶非线性常微分方程可用常数变易法求解,从而将常微分方程中的常数变易法用于更加广泛的地发去。阅读理解首次积分求得的六个定理以及推论，将六个类型的方程与常数变易法相结合，并对定理运用常数变易法进行证明，求解。应用变量变换方法，
2、解几类可化为分离变量的二阶非线性微分方程，扩大了变量变换方法的使用范围，提供微分方程的可积类型，给出几个通积分的表达式。二阶线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。本文利用常数变易法对二阶非线性微分方程进行讨论后, 给出了( )( )( , )yP x yQ x yf x y求其通解表达式的具体方法。关键词：常微分方程; 常数变易法; 非线性；二阶非线性；可积类型； 通解分。西南交通大学本科毕业论文 第 V 页AbstractAbstractConstant variation method is a special method of solving diferential equation
3、It is simpler to use constant variation method to get some special solutionsSeveral constant variation methods different from those in textbooks are listed here to find out their advantages and disadvantages in some aspectsThe method of constant variation is an effective way to solve the first order
4、 non - homogeneous linear ordinary differential equation. This paper studies the first order ordinary differential equation in a special form, and proves that the equation of variable divided, Bernoulli equation, some non - homogeneous equations and the first order non linear ordinary differential e
5、quation in another form can all be solved with this method, and then popularizes the method of constant variation. Reading the six obtained by the first integral theorem and corollary, With six types of equations and constant variation, I use the constant variation to prove, to solve theorems.Soluti
6、ons to some kinds of second-order differenfial equations by using variable西南交通大学本科毕业论文 第 VI 页transformation method are given and the scope of applications is expandedMeanwhile, the integral types of differential equations are provided and the expressions of reduction of integrals to a common denomin
7、ator are also givenThe Second-order Linear Homogeneous Equation is widely used in practical problems. The paper discusses the second-order non-linear homogeneous differential equation“”by the constant-variation method, and ( )( )( , )yP x yQ x yf x ypresents some specific methods on the expression o
8、f the general solution.K Keyey wordswords：ordinary differential equation; the method of constant variation; non linear; secondorder nonlinear differential equation;variable transformation integral type reduction of integrals to a common denominator 西南交通大学本科毕业论文 第页目目 录录第 1 章 绪论 .11.1 引言 .11.2 本文的主要研究
9、内容 .4第 2 章 一阶非线性常微分方程的常数变易法与举例 .52.1 一阶非线性常微分方程的常数变易法 .52.1.1 基本类型52.1.2 基本类型52.1.3 基本类型62.1.4 基本类型62.1.5 基本类型62.1.6 基本类型I72.2 举例 .72.2.1 基本方法72.2.2 基本方法8西南交通大学本科毕业论文 第页2.2.3 基本方法82.2.4 基本方法 IV92.2.5 基本方法 V92.2.6 基本方法 VI.102.2.7 基本方法VII102.2.8 基本方法 VIII10第 3 章 二阶非线性常微分方程的常数变易法与举例 .123.1 二阶非线性常微分方程的常
10、数变易法 .123.1.1 二阶非线性常微分方程组的一般形式与解法 .123.1.2 具有几个定理性质的可用常数变易法的方程.133.2 举例 .13结 论 .22致 谢 .23参考文献 .24西南交通大学本科毕业论文 第页部分符号对照表属于 对任意的 存在 ()大于（小于） 大于或等于（小于或等于） 蕴涵或推出 等价或充分必要 集合的并（集合的交） 积分号, A 求和符号维实数空间nRn 求极限lim dy/dx y 对 x 求导西南交通大学本科毕业论文 第 1 页第 1 章 绪论1.1 引言常数变易法是常微分方程中解决线性微分方程的主要手段，在教材中都没有详细的说明，在这里我给出常数变易法
11、是如何一步一步推导出来的。我们先来看下面的式子：( )( )yM x yN x(1)对于这个式子最正常的思路就是“分离变量” 。所以我们的思路就是如何将（1）式的 x 和 y 分离开来。起初的一些尝试和启示起初的一些尝试和启示先直接分离：( )( )dyM x yN xdx( )( ) dyN xM x y dx(2)从中看出 y 不可能单独除到左边来，所以是分不了的。这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数：设.将代入(1)式: yuxyuxyux( )( )(1( ) )( )( )(1( ) )u xuM x uxN xu xuM x xN x duxN xuM x xdx西南交通大学本
12、科毕业论文 第 2 页1( )(1( ) )duN xuM x xdxx(3)这时 u 又不能单独除到左边来，所以还是不行。不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那将该项变为零是比较好的方法。因为这样“变量分离不出”这个矛盾就自然而然的消失了整个都消失了，那也就不需要分什么了。比如说，对于（3）式，如果 x1/M(x)，那么那一项就消失了；再比如说，对于（2）式，如果 M(x)0，那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可能的，因为x 和 M(x)等于几是你无法干预的。不过我们可以这么想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事具备了吗？进一步：变量代换法进一步：变量代换法我们可能觉得要构造这么一个函数会很难。但结果是很简单的。就是这么符合要求的一个函数。其中 u 和 v 都是关于 x 的函数。yuv这样求 y 对应于 x 的函数关系就转变成分别求 u 对应于 x 的函数关系和v 对应于 x 的函数关系的问题。有人可能会觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是把问题复杂化了，不然,其实 u 和 v 都非常有用，看到下面就知道了。将代换代入（1）式会出现：yuv( ) )( )uvu vM x vN x(4)如果现在利用分离变量法来求 u 对应于 x 的函数关系，那么西南交通大学本科毕业论文 第 3 页就是我们刚刚遇到
