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1、99 研究生计算方法试题（研究生计算方法试题（A 卷）卷）姓名 班级 一、填空题：（每小题 4 分） 1.设 P3.14159 是的近似值，则该近似值具有 位有效数字； 绝对误差限为 ；相对误差限为 。2.设 则求解方程 Ax=b 的 Gauss-SeidelAb 210121012111，迭代法的迭代公式是 。 3.用 Jacobi 迭代公式 xk+1=Jxk 求解方程 Ax=b,对于以下几种情况， 一定收敛的是： A. A 为严格对角占优阵 B.J 为严格对角占优阵 C.A 为对称正定阵 D.A 的谱半径小于 1E.J 的谱半径小于 1 F.J 的列范数小于 14. 对矩阵 作 LU 分解
2、，则 L= ;U= 。A 1463142410125.用 Newton 迭代求 的零点 x=-1 的近似值，若取f xxx( ) 22，则 。x009 .x16.为了计算积分 的近似值，对积分区间 n 等分， 为步长，f x dxab( )hba n为复化中矩形公式， 为复化梯Hhf aihn in () 1 201 Tn形公式，为步长减半后的复化梯形公式，Tn2为复化 Simpson 公式，Shf af aihf aihf bn inin 641 221101 ( )() )()( )则所满足的关系为 。S THnnn,和7.设，则求积公式f xC( ) , 401f x dxffff( )
3、 ( )( ) ( )( )1 2011 120101的余项为 。 8.设为a,b上 n+1 个互异的节点， 是拉格 朗日插值基函x xxn01,.,l x l xl xn01( ), ( ),., ( )数, 则 。xlin iin 1 00( )9.已知是初始问题的精确解，h 为步长， 是由梯形公式求yaxbx1 22yaxb y ( ) 00yn解上述问题在的近似值，则局部截断误差xnhn。y xynn()10.设 ,其中 I 为单位阵，则矩阵 H 的谱半径 是 uHIuuTT1 32 212( , , ) ,。 二、设Ixdx4 1201n 为0,1区间的等分数，分别取 n=1,n=2
4、 和 n=4 用复化梯形公式计算 I 的近似值并用 Romberg 方法进行加速。（最终结果保留 5 位小数） T TT124,和（15 分）三、设证明：f xC a b( ) , 2若 f(a)=f(b)=0,则：max| ( )|( ) a x babfxbaf x dx 123一般地，有：max| ( )|()( ) ( )( )() a x babfxbaf x dxf bf aba 121 23(15 分) 四、给出下表的数据，1)用最小二乘法求一个形如的经验公式；yabx22)对任意多个点的拟合问题，应如何合理地定义拟合的均方误差？ i12345xii4438312519yi yi
5、97.873.349.032.319.0（15 分）五、已知，求一个初等反射阵 H，使得：uT ( , , , , ,)2 52 21 Hu=(2,5,-3,0,0)（15 分）00 研究生计算方法试卷研究生计算方法试卷 A一、（20 分）设A= b= 124213431 18720记),(),(21)(ubuAuuJ3Ru1) 给出在 中的点 取得极值的必要条件)(uJ3R*u2) 用数值方法求解 1)中的 *u 3) 求正交阵, 使为三对角阵HHAH 4) 求|1HAHHAH和5) 写出求解的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的格式bAx 二、 （15 分） 1)
6、试证 0)(),( yaybxaxfy的四阶 Runge-Kutta 法是： )()2(4)(61hxfhxfxfhyynnnnn2) 它与数值积分有什么关系3) 取 2 . 0,41,)(,1 , 0,022hyexxfbax用 1)中的格式求的近似值)(hy1y4) 计算误差 (保留六位小数)1)(yhy三、（15 分）已知 的两个特征值为，对应的特征向量分别为 2011A2121，, 取初始向量. 作迭代TT) 1 , 1 ()0 , 1 (21与210x .,.3 , 2 , 12kyxAxyk kkk1) 写出 的精确表达式kx2) 计算 8888 8xxAxxTT 3) 计算 |2
7、8128与x四、（20 分）设对任意给定的上连续。定义,)( , 0baxf在xxdttfxf)(21)(1)证明：求 的 Newton 迭代公式为：0)(xf（*）)( )( )()(1 nnnn nnxfxfxfxfxx2)设 是的零点，如果在的领域内满足* x)(xf* x)(“xf| )()(|“yxLyfxf且。 证明对于充分靠近的初值 迭代公式(*) 所产生的0)(*“xf* x0x序列收敛到。nx* x五、（15 分）已知试验数据如下：x 3 2 1y 9.296 6.078 2.000 且有经验知 x, y 间有关系：y=x+ln x, 用最小二乘法求系数和均方误差1a2a21
8、aa 、六、（15 分） 设 f(x) 在 0,1 上具有连续的四阶导数，且 f(0), f(1),已知。) 1 ( )0( ff和 1) 求满足条件) 1 ( ) 1 ( )0( )0( ) 1 () 1 ()0()0(fHfHfHfH 三次 Hermite 插值多项式 2)构造如下的数值积分公式：)1 ( )0( 121)1 ()0(21)(10ffffdxxfI并求余项01 研究生计算方法试题（研究生计算方法试题（A）班级 学号 姓名一、填空题（选做其中 10 题，每小题 3 分）对方程 Ax=b 用 Gauss 消元法求解，其中，则第一步消元相当 513321252 A 13128b于
9、方程两边左乘矩阵 1L 2. 以下叙述中正确的是 （多项选择）方程 f(x)=0 在 a,b 内有根，且 f(x) 在a,b上连续，f(a),f(b) 异 *x号，则用二分法求 f(x)=0 在a,b上的根一定收敛于。*x用 SOR 迭代法解线性方程组 Ax=b，如果 SOR 方法收敛,则必满足：02。用 Newton 迭代求方程 f(x)=0 的根，若收敛，则收敛阶数必为二阶。若 A 为严格主对角占优阵，则求解方程 Ax=b 的 Gauss-Seidel 迭代必收敛 3.在直角坐标系中画出 y=f(x)的一种图形，使得用 Newton 迭代法解 f(x)=0 的近似根时发 散, 并在 x 轴
10、上标明的位置。0x4. 用 (k=1,2,3,)求方程组 )(1)(1)1( 1212 22)( 2)1( 2121 11)( 1kkkkxabaxxabax 22221211212111 bxaxabxaxa的近似解，则迭代收敛的充要条件是 )0,(2211aa5.设 A 是非奇异矩阵， 且，则解的相对误差的上限0 bAxbbxxA)(| xx为 6.一个次数不高于 5 次的多项式，满足)(5xP且) 1 () 1 (),1 () 1 (),21()21(),21()21(),0()0(),0()0( 55 55 55fPfPfPfPfPfP连续，则该插值多项式的余项 )()6(xf)()(
11、5xPxf7.求次数不超过 3 次，且满足下列条件的插值多项式：x0 1 2 3f(x)1 1 1f(x) 0该插值多项式为 8.切比雪夫（Tchebycheff）多项式所满足的递推关系式为：)(1xTn)(xTn)(1xTn其中 ， )(0xT)(1xT9. 在 -1,1 上的一次最佳一致逼近多项式是 13)(2xxxf10.用求解的梯形公式和中矩形公式badxxf)()()(2bfafabT作组合，得到具有高精度的求积公式 S，则 S= )2()(bafabH11. 设用 n 等分0,1区间的复化梯形公式求积分, 10dxex当 时，保证误差不超过n2141012. 设 f(x,y)关于
12、y 满足李普希兹（Lipschitz）条件，即： , 是用欧拉（Eular）公式| ),(),(|2121yyLyxfyxfny求得的方程 在处的近似值，记 00)(),( yxyyxfynxnnnyxye)(为整体截断误差，则所满足的关系式为 nene13.设，用分段线性插值求在区间 0,1 中的近似xexf)()(xf值，则当等分区间的步长 时，绝对误差h610114.初等反射阵（Householder 阵）的全部可能的特征值是 15.设， ，则的定义是nnijaA)(nnk ijkaA)()()(AAkk )(lim二、（14 分）1)试导出解 00)(),( yxyyxfy的中点折线法
13、：),(211nnnnyxhfyyn=1,2,2) 若 1）中的yxyxf222 . 1),(, 试用中点折线法求解2y(取步长 h=0.02), 并与精确解比较（保留四位小数）三、（14 分）设 232022141 A1) 用 Householder 法求 A 的 QR 分解;2) 用 QR 分解法求解 Ax=b, 其中Tb) 1 , 4 , 1(。四、（14 分）已知插值条件i 0 1 2 xi 1 2 3 yi 0 3 0与边界条件：020，yy 1) 建立求解 y=f(x) 在1,3 上三次样条插值函数 S(x) 的三弯矩法；2) 求出 S(x)。五、（14 分）设, 1 , 1,)(2xexfx1) 导出)(3xS是 f(x) 在, 132 3xxxSpan 上最佳平方逼近函数的必要条件；2) 求 f(x) 在, 12 2xxSpan 上的最佳平方逼近函数六、（14 分）设线性方程组 12310101321xxxaaaa写出该方程组的 Jacob
