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1、http:/ 基于基于 MATLAB 语言的悬索桥施工过程颤振分析语言的悬索桥施工过程颤振分析 徐优 西南交通大学土木工程学院，成都（610031） E-mail： 摘摘 要：要：MATLAB 语言由于其强大的矩阵运算功能，在桥梁结构有限元分析中具有广阔的 应用前景。 本文首先基于大跨度悬索桥三维颤振的有限元分析方法， 建立气动自激力作用下 的结构颤振运动方程，将颤振问题转化为求解复数矩阵的标准特征值问题，随后利用 MATLAB 语言编制相应程序。最后用该程序对某大跨度悬索桥的各个施工过程进行颤振分 析，据此评价该桥的颤振稳定性。 关键词：关键词：悬索桥，施工过程，颤振，MATLAB 1 引言
2、引言 桥梁颤振是一种自激发散性振动， 当桥梁结构由结构阻尼和因自激力引起的气动阻尼组成的系统阻尼由正值趋向于负值时， 振动系统无法消耗由于气流反馈作用吸收的能量， 使得振幅逐步增大导致颤振【1】。当振幅大到一定程度时, 将导致结构的破坏。在大跨度悬索桥的抗风设计中, 颤振是影响设计非常重要的因素之一。因此, 对悬索桥颤振问题进行研究具有重大工程实际意义。 迄今为止, 国内外许多学者提出了一些行之有效的三维颤振分析方法。如Namini提出的PK-F法【2】【3】【4】，陈政清提出的MS法，谢霁明、项海帆提出了状态空间法。由于计算机技术的广泛运用使得三维颤振分析得到快速发展。 本文将采用含有18个
3、颤振导数的气动自激力模型， 并将其表示成复数的形式， 然后将结构颤振运动方程转化成求解复数矩阵的标准特征值问题，通过求解特征值进行颤振分析。 2 多模态参与颤振分析理论多模态参与颤振分析理论【56】采用 Scanlan 提出的自激气动力模型，并将其表示成复数的形式，则作用在桥梁主梁单位长度上的升力、阻力、升力矩hLMpD可以表示为如下的形式： 22*()()(413265LBHiHhHiHBHiHh =+)p 22*()()()654132DBPiPhPiPpPiPBp =+（1） 222*()()()416532MBAiABhAiABpAiAB =+式中：为空气密度;B为桥面宽度;为圆频率;
4、 、hp分别为主梁的竖向、横向和扭转位移; iH iA、( i16) 是颤振导数,与桥梁断面的几何形状和来流有关, 可通过实验测定。 iP依据有限元等效节点力计算原理， 将沿主梁均匀分布的自激力换算为单元两端节点等效-1- http:/ aeF： 荷载，集结所有主梁单元的等效节点力，形成结构的自激力总等效节点力列向量（2） 2 aeaeFA=Xe aeA为气动自激力系数矩阵。 式中在进行桥梁有限元分析时， 将结构离散为由杆单元和梁单元组成的三维空间结构， 根据结构动力学理论，其颤振运动方程可以写成： . M XC XKXFae+= （3） 、C、MK为结构的整体质量、阻尼、刚度矩阵。 式中将(
5、2)式代入(3)式，颤振方程可以改写为： 2.aeM XC XKXA X+= （4） RetX=()i令，为系统的复模态响应，相应的复频率R= +（其中、分别为复模态的阻尼比和圆频率） 。 假设结构在颤振临界状态下的响应可以近似由个选定的固有模态叠加表示，即，因此有 m Rq= tXqe= （5） 式中为n阶的结构固有模态振型矩阵，n为结构总自由度数；q为行广义坐标向量。 mmT利用(5)式代入(4)中，同时方程左乘，得到： 22t aeMACK qe0+= （6） CMI=MK、分别为广义质量矩阵、广义阻尼矩阵、广义刚度矩阵。，式中(2)iiCdiag =2()iKdiag=ii分别为第 i
6、 阶模态的圆频率和阻尼比，其中和T aeaeAA= 。 一般都很小，复模态的圆频率可以近似写成： 考虑到模态的阻尼比 i= （7） 将(7)式代入(6)式中消去得到下式： 2()0t aeMACK qe+= -2- http:/ （8） 上式可以转化成如下状态空间变量的形式： ()tAI Ye0= （9） 0IAKC=qYq=1()aeIA =+ ，其中显然，要使上式方程有非 0 解，则系数矩阵行列式必须为零，因而颤振问题就转化为如下的标准特征值问题： 0teAYY= （10） 式中A为阶复数矩阵， 仅含一个变量即折减频率k， 如果给定值就可以求出相应的个特征值22mmk 2m和特征向量Y。其
7、中虚部为正值的m个特征值是系统的复频率，其它虚部为负值的m个特征值和特征向量无实际物理意义。当任一系统复模态阻尼比等于零时，系统出现颤振临界状态。因此对无量纲风速2 /Vk=进行搜索时，当求得的个特征值中有一个实部为零， 即认为找到了颤振临界状态， 此时的圆频率即为颤振的圆频率2mf，颤振临界风速为/fUBk=。 3 程序的实现程序的实现【78】根据前文介绍的多模态参与颤振分析理论，使用 MATLAB 语言编制了大跨桥梁颤振分析程序。MATLAB 较与其他高级编程语言，其编程语法宽松，算法描述均十分符合人们的科学思维方式和数学表达习惯， 它几乎不要求编程人员考虑采用何种算法以及怎样具体实现低层
8、次问题，更不用深入了解相应算法的具体细节，这就使编程变得简单、程序变得简洁。具体到本文阐述的问题，使用 MATLAB 编程具有以下优点： （1）MATLAB 是以矩阵为基本运算单位的高级程序设计语言，尤其对于有限元这种涉及到大量矩阵运算的程序，在处理时具有独到的优势。 （2）求解颤振方程涉及到复数矩阵特征值问题， MATLAB 内置多种算法可供选择，实现较易。 （3）MATLAB 强大的图形图像处理功能为进行可视化数据后处理提供了便利，同时其较强的应用界面编制功能也为编制理想的用户界面提供了方便。 正是基于此，本文选用 MATLAB 语言来实现颤振分析程序的编制。程序由两层基本循环组成： 外层
9、循环确定当前搜索风速下系统的复模态响应， 得到系统复模态阻尼比发生变化时无量纲风速的范围； 内层循环采用二分法精确搜索到系统复模态阻尼比为 0 时的无量纲风速，此即颤振临界风速。同时，程序的自动化程度较高，只要求程序开始时指定参与模态和无量纲风速搜索范围， 并且能给出各参与模态和阻尼比随风速变化的全过程。 下图 1 为程序流程图： -3- http:/ 图 1 程序流程图 4 具有理想平板截面悬臂梁颤振分析具有理想平板截面悬臂梁颤振分析 下面以文献9中描述的具有理想平板截面的悬臂梁为例，对其进行颤振临界风速的求解，以验证本程序的正确性与有效性。由表 2 的对比结果可知，本文的计算结果与文献9吻
10、合较好，初步证明了本文程序的正确性。 表 1 理想平板截面悬臂梁动力特性 1 2 3 4 5 6 7 8 模态号 0.14334 0.343316 0.8978101.0299421.3170131.7165462.403116 2.511705频率(Hz) V-1 T-1 V-2 T-2 L-1 T-3 T-4 V-3 振型 表 2 理想平板截面悬臂梁颤振分析结果 参与模态 颤振风速(m/s) 颤振频率(Hz) 1,2 99.44 0.2675 1,2,3,4 99.78 0.2670 1,2,3,4,6,7,8 99.78 0.2670 文献9结果 99.30 0.2680 图 2 全桥有
11、限元模型 -4- http:/ 5 悬索桥施工过程颤振分析悬索桥施工过程颤振分析 某大跨悬索桥跨径组成为 290m+1108m+350m。主梁采用单箱单室扁平流线形全焊钢箱梁，中心梁高 3.5m，钢箱梁桥面净宽 34.5m。塔墩位置设置竖向支座，结构为半飘浮体系，在塔墩设置横向限位支座。主梁采用从跨中对称向两桥塔拼装施工。根据设计文件确定的 7种施工状态：100施工状态、82施工状态、63.5施工状态、49.7施工状态、40.4施工状态、31.2施工状态和 21.9施工状态分别建立三维有限元模型。主梁采用鱼刺梁式力学模型，利用三维梁单元，根据吊杆的间距进行离散。桥塔采用空间梁单元；大缆和吊杆采
12、用三维杆单元，并考虑了大缆初始应力。图 2 为全桥状态的有限元离散图。表 3 为各施工状态主要模态频率。 表 3 各施工状态主要模态 主要模态频率(HZ) 施工状态 V-S-1 V-S-2 T-S-1 T-S-2 V-A-1 T-A-1 21.9% 0.1809 0.2746 0.2153 0.3168 0.1308 0.5473 31.2% 0.1927 0.2591 0.2498 0.3160 0.1254 0.4312 40.4% 0.1943 0.2436 0.2924 0.3110 0.1181 0.2558 49.7% 0.1872 0.2346 0.3051 0.4464 0.1
13、115 0.2883 63.5% 0.1744 0.2182 0.3016 0.4559 0.1053 0.2950 82.0% 0.1603 0.2169 0.3131 0.4891 0.1003 0.2773 100% 0.1591 0.2213 0.3441 0.6045 0.0966 0.3951 注：S对称；A反对称；V竖向；T扭转 在桥梁节段模型的风洞试验中， 对具有竖弯和扭转两自由度的节段模型测定了 0 度风攻角时其颤振导数H*i和A*i（i=14） ，见图 3。由于与横向振动有关的颤振导数无实验结果，计算中按拟静力理论采用。大桥结构各固有模态的结构阻尼比均取为 0.5。考虑到发
14、生多振型耦合颤振的可能性，计算采用了动力特性分析的所有前 40 阶模态作为颤振分析的参与模态。分析结果列于表 4 中。 -5.0-4.5-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.0024681012颤振导数折减风速（U/fB）颤振导数折减风速（U/fB）H*1H*2H*3H*4120246810-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2A*1A*2A*3A*4颤振导数折减风速（U/fB）颤振导数折减风速（U/fB）图 3 桥梁断面颤振导数H*和A*ii-5- http:/ 表 4 各施工状态颤振分析结果 施工状态 100 82 63.549.740.431.2 21.9 76.52 61.22 56.44 55.26 54.79 71.97 53.09 颤
