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1、利用递推关系求数列通项的九却萎红庾馁法1.形n l 口臼“口r f ,)遴(l 冫若f (为常数,即:口,丬。% ,此时敬列为等差效列,则口,o 【+t m -l )(2冫若f t n )为m 的函数时,用累加法: i | 方 法 如 下: 由口 丬-口“(9,得:、 2时,刀,-%丬=r (-1),。,曰扌(口田-口”:)+(口 , :-曰扌 2)+(口2-口 I)+口: 扌歹(刀-D+r (刀-2)+歹(2)+r (1)+c T1。例 飞。己知数列(氏)满足吼1,刀,3刃丬+%冖f ,| z ,证明 口,=y l证明:由已知得:曰“曰 丬3”丬 故曰冫=(田-曰, )+(曰i I曰刀2)+
2、。+(口2-口 l )+口:3”=l口i 2=r i y !“=.叨:2?早卿致 列 % 的苜顼 为l ,且%“=%+2刀(刀)写出数列 % 的通 顼 公枣.答案g 刀20+1甲3。已知数列I口刀)满足o l 3。曰 =口衤 丬+n 【-Dt 勾求此瞥Fl J田遢顼公 | 。餐 案 曰刀2亠 刀评注:弓知q =口DJ“-口口,f m )其中 f (n ,可以是关于h 的工次函效、二狭豳仗1招效国数.分礻甲繁1求通顼曰,。 0岛Cn ,是关于 虫的次茵数,累加后可转化为等差数列求和;g 耄: :霆奠 季:嚣蚕 验 萎 茧:露絮 蜃 哥 鑫 琵 鸾 搴 廴 如 列 求 和: 者f 【P是关于n 的
3、分式函 数,累加后可裂顼求和.确唾 。 已邾猡l J(甲 中, 亻%0且Si :(%+苫:)p 求数步(%)I洵迅攻兮式 : l 呷 | 弓| 0刃r :(卩:+却嫜f “呓吁t : 羔W化简有吖-s 廴I=,由荦鱼亨鲜| 亻| +3+刀:q 乩我所 以 而F犁毛| | 汪岬D.厄(仰+1)-2(1)2 此题也可以用g 泛归纳法来求解.2。形如巳土=/()型 :口乃 : 、一- 又s l =则口=土.纽阜讦“Of I1 邓卜q 口” l 口,2口:i 垫丿翠 私 阜崔 顼 为l 的辛哪繁尸亠(宀| 1)妻:i -宀;+曰i +:口,解:已知等式可化为:宀+a 。R访l ”i i | 汩刁Fo它
4、的通项公式是口“=_ 饣m 0(刀 )犰+p 回汕工呷扌=p - 彷 2时9型k =土二廴 口羽 丬 刀 : %| 条智铮 钅铐 叶2 (D当f (n ,为常数,即:鱼=g (其中 早下堪中枣数),此时数列为等比数Fl J,%。l g l 口丸 | (2)当f 为n 的函数时,用累乘法。|由坠=/(刀)得口一. 话 2时,兰止/氵| :), 卩 叩 哿| 蠡=0(=l ,23,则淠注:本蹈是关于c J和口,d 的二次齐次式,可以通过因式分辉(一扭宿况时用求摄公成)锝麴口礻 与口,丬的更为叨显的关系式,从而求出%。例2。已幻o ,“泗。+-:,n l )-I,求数列 痴j 【a l 的通顼公式。
5、解:囡为口击1m J,o I,所以口,。:+I,o o +,敬日 ” 丬+1以吨+9,又因为Jl -l ,即o 1+10, 所以由上式可知口,+)0:所苡#=,故由累乘法得口,+:=里扌+l 四田-I+l 口:+: 口2+;。 (口l +I)+:石2+l 口!+=(饣-:)(刀=2):2(口I+l )(刀l )(曰:+l )所以口“=(-)K口:+l )-l . 评注:本琵解篮的关键是把原来的递推关系式口,刊=P:n 刀+刀1转化为口,丬+!=祗n +D,若令0扌%+1,则问厄进一步转化丿出 嫂列的 邋顼公式。 廿3臼丬弓 田九形式。鞋雨应用黑 乘法求8.膨细%酬+密i 歹()避(l 冫箩q
6、刚t 口。窍d (d 为饣敏 口则数列(口刀)为“等和 擞劂,它是一个搦瑚盎刭,属拥为 2,其渑硬分裔效顼和铒效顼来讨论:Q聍f 为“的西鱼(非常嫂公时,可迁洱押难转化为口 “丬-口:=r 【a ,西,迁0搠橥察出遍珲:葳用逐差浅 两式榴渤 得口 羽%丬=r f P,-/t ,-D,分搀髑顼寨分求通瑗.例l 。效刭【卩 。l 辘甩四f =o ,口口1+曰田.2刀,求数列【 只)的通顼公式。=2,B.2时, 日“+口, 2(-:),洒式桶洒锊:2。g a ,九,铣,、猢螽氵 卜诜漤 珥 豇 俏2为公 差确 熔 踟减 辶卩卜烙 吣 /2 一 七 灬 臼饣扌 饣臼:i :=口2+(虍-【)d :2七
7、。例2.己知数列h )的前o 顼和满足s n 一Sn 书亠)宀冫3,早s 【9凡 =,求数卩!蛐的避顼公式。解:方法一:因为s -S,钅曰+口:。所以以下同例1,略+泅 丬=3( :)l (“3), 常数、 则数孰(气)为“等积数岚,它是个周翔薮列,周期为其通项分奇数项和偶数顼来讨论:(2)若F(为n n q 函数(菲帘数)时 ,可通枣蘧差法得口口 “丬=歹t 99l ,。两式狎除后P分孱T啻釜嚣a 榀足G=盹引=呓/,0),龇哪的避n /Ak 戋注:同上例类似,咯。5.形如曰刀 丬m “+d ,【c 0英中】钅日)型(1若芷l 时?数列 】卩 刀)为等差数列j(2)若士 闪时,数列(口泅 为
8、等比数列:(3)若c 1 d Q时,数列t 曰,l 为线性遴推鳖暨飞(J+兄)D锝曰,+t /辶c 曰口+=1)尤,与趱 设帆 狨求.、彡 艹涫,硬嘀 攒勇阜鍪d 帚(j -1)克=,J听以扌=芒t ,(f 艹)所以 有:卩田+了万=c f 口”j +石)甲此效列 口刀+J争r 构戊以q +圭为亨 严;以o 为公 比 击 等比 故 列,男 钒 决%+圭妃+T芒 9亻H肾巳饥+圭丬石 r耦律:将哗推关系%+I四刀+d 化为口+!+圭=c (口,i 丁壬丁)构造成公比为c 的等比森列(口+丁 彐i )从而 求 得 通 顼 公 千口 “丬=I1=Fc 丬(+圭)有时我们从遇推关系口,丬=c 曰刀+中
9、把n 换成n 1有口刀=田刀 丬+J:两式相浪有口刀J口9C“-口,丬)从而化为公比 为c 的等比 数列l J丬-),进而求锝通顼公式。口 丬-口“=C(J,-口I)再利用类犁(l )即可求得通顼公 式。 我们看到此方法比 欤复杂。丛甲知数列和,n l =%丬=:%+扌求通甄析J弘绍邕接a L圭,构造g Bt 等比砜解J I扭田i :_:口,+:,彳寻口F+l -l =:(口-l ),所以数列伽刀l l 构成以夕l -l 为首项,以:为公比的等比数列雳:1次口,-:(:)艹:,即 日,=(:)l l +l 方法二:由曰“=Cn 刀+d 。 刀 2n f 。 日“c 口刀l +d 、两式相诫篝
10、曰i “-口“c f 0、-夕,“)鱼盯 丘=c D 口刀曰钾I数列妒刀呷,-l )是以%口IC-l )口l +为首 顼,以c 为公比 的等比 狂列。口刀-(夕2-曰l )2曰“ I-夕 2(口2-】:c m 3四3-口2=(口2-口l )c口2-曰 l =口 2-曰 1夕-曰IF(2-口:Xl +c +四坩)良-吼)卜苄;%=飞十圭)砂礻-TEr方法三:迭代法由遴推式吨丬=c o +,直 接 迭 代 得口c 曰 I+d =c t c 口j 冖+0+J亠c 2口刃+臼+l )=C3曰 3+d (1+c +c 2)= c I曰l +歹(l +c +c 2+2) q +了芒 PF汩-圭方法四:归纳、猜想、证明.先计算出:刀2,气,再猜揖出通项口,最后用数学归纳法证明。注:请用这三种方法来解例题,体会并比较它们的不同.6.形如口“+= 曰+/伽)型(D若r (刀)=枷+抄(其中k ,b 是常数,且七 0)方法:相减法锣l 。在 数 列抑,)中,口1=l ,夕 丬3气 +2刀,求通 瑚 口刀解: ,曰i 丬=3曰刀+2刀 刀 =2时寸口=3曰i 丬+豕刀 =D, 两式相口刀+:口历3(夕刀曰H)+2。令九=a 刀i l a ,则九=33”丬+2!利用类型E脚方法知3=53丬+2即 %丬-=53卜I-l
