《高等数学同济第六版上_答案解析第八章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学同济第六版上_答案解析第八章（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第 8 章（部分）习题参考答案 第 8 章（部分）习题参考答案 1. 求下列函数的定义域： (1) zxy=+ (2) )ln(yxz+= (3) 22222222rzyxzyxRz+= 解： （1）要使函数有意义，只需0x ，故该函数的定义域为( , )0,x y xy + yx，故该函数的定义域为0),(+ yxyx； （3）要使函数有意义，只需222222xyrxyR+， 故该函数的定义域为222( , )x yrxyR+. 2.求下列各极限 （1）22( , )(0,1)1lim2x yxy xy +（2） 22( , )(1,0)ln()limyx yxexy+（3） ( , )(
2、0,1)sinlim x yxy x(4) ( , )(0,0)lim1 1x yxy xy+ 解： （1）22( , )(0,1)1lim2x yxy xy +1;2= （2） 22( , )(1,0)ln()limyx yxexy+ln2ln2;1= （3） ( , )(0,1)sinlim x yxy x( , )(0,1)( , )(0,1)limlim1; x yx yxyyx= （4） ( , )(0,0)( , )(0,0)limlim(1 1)2.1 1x yx yxyxyxy=+ +=+ 3.求下列函数的偏导数： (1) 2333xyyxz+= (2) yyexz2= (3)
3、 ln()zxxy=+ (4) xyzwe= 解： （1）2233zxyx=，236zyxyy=（2）z x=yxye2，z y=yex2yyex2+ （3）ln()zxxyxxy=+，zx yxy=+（4）xyzwyzex=，xyzwxzey=，xyzwxyez=4. 求下列函数的全微分： (1) )ln(22yxz+= (2) 222zyxu+= (3) )ln(222zyxu+= (4) arctan()zxy= 解： （1）由于222zx xxy=+，222zy yxy=+， 所以dz)(222ydyxdxyx+= （2）由于 222zyxx xu+=， 222zyxy yu+=， 2
4、22zyxz zu+=所以du)(1222zdzydyxdx zyx+ += （3）由于2222 zyxx xu +=，2222 zyxy yu +=，2222 zyxz zu +=所以du2222 zyx+=)(zdzydyxdx+ （4）由于221zy xx y=+，221zx yx y=+， 所以dz)(1122xdyydxyx+= 5. 设yxvyxuvuz23,ln2=，求yz xz , . 解： zzuzv xuxv x =+ 211(2 ln )( )() 3uvuyv=+)23(3)23ln(2222yxyxyxyx+=， zzuzv yuyv y =+ )2)(1()(ln2
5、(2 2+=vuyxvu )23(2)23ln(22232yxyxyxyx = 6. 设, )(22 xyxyz+=为可微的函数，求证：02322=+yyzxyxzx. 证明：222zyyxx= +，zyxyx=+，于是 2zxx23 2zxyyy+) 2(22 2yxyx+=+) (xxyxy0232=y 7. 设6333=+xyzzyx，yz xz ,求. 解：令6),(333+=xyzzyxzyxF 则yzxFx+=23，xzyFy+=23，xyzFz+=23， 223 3xzFzxyz xFzxy+= = +，223 3yzFzyxz yFzxy+= = +8.设yz xzeyzxyx
6、z =+,2222求. 解：令zeyzxyxzyxF+=22),(22则22+=xFx，zyFy22=，z zeyF=2， 22 2x z zFzx xFye+= =+，22 2y z zFzyz yFye= =+9. 设0,zexyz=求2zx y 解：令=),(zyxFzexyz 则yzFx=，xzFy=，xyeFz z=， x z zFzyz xFexy= =，y z zFzyz yFexy= =。 2zx y ()z yx=2()()()()zzzzzzyexyyz exxy exy+=2)()()(xyexxyeyzeyzxyexyeyzyzzzzz z+ = 322)()()( x
7、yeyxxeyzeyzxyezyxyzzezzzzz+= ()223.zx y zexy 10.设)(,xyuuxyz=+=，求,xxxxyzzz . 解：()xzyyxy =+，2()xxzyxy =，1()()xyzxyxyxy = + 12.求函数5126),(23+=yxxyyxf的极值. 解：由=+=01230622yfxfyx得2, 3=yx，所以驻点为)2, 3(),2 , 3(， 2 =xxf，0 =xyf，yfyy6 =， 于是在点)2 , 3(处，02 = BAC， 所以函数5126),(23+=yxxyyxf在)2, 3( 处取得极大值：30)2, 3(=f 14.某工厂
8、生产两种产品与， 出售单价分别为 10 元与 9 元， 生产x单位的产品和生产y单位的产品的总费用是： 22( , )400230.01(33)f x yxyxxyy=+（元） 求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？ 解：目标函数为 22( , )109400230.01(33)L x yxyxyxxyy=+ (0,0)xy 解方程组 = 001. 006. 039001. 006. 0210xyLyxLyx得唯一驻点：120,80xy=， 由于实际问题的最大值是存在的，所以唯一驻点就是函数的最值点。 所以，生产产品与分别为120件和80件时，工厂获得最大利润。 15.某公司通过电视和报纸两
9、种形式做广告，已知销售收入R(万元)与电视广告费x(万元)、 报纸广告费y(万元)有如下关系： 22( , )15 15338210R x yxyxyxy=+ （1）在广告费用不限的条件下，求最佳广告策略； （2）如果提供的广告费用为 1.5 万元，求相应的广告策略. 解： （1）目标函数为：22( , )15 15338210R x yxyxyxy=+，(0,0)xy 解方程组=02083304815yxRxyRyx得唯一驻点:39,44xy=. 由于实际问题的最大值是存在的，所以唯一驻点就是函数的最值点。 即在广告费用不限的条件下， 最佳广告策略为： 电视广告费3 4万元、 报纸广告费9
10、4万元. （2）目标函数为：22( , )15 15338210R x yxyxyxy=+ (0,0)xy 约束条件为：1.5xy+= 令( , , )L x y=2215 15338210xyxyxy+(1.5)xy+ 解方程组158403382001.50xyLyxLxyLxy= = =+=得唯一驻点：0,1.5xy=. 由于实际问题的最大值是存在的，所以唯一驻点就是函数的最值点。 即如果提供的广告费用为 1.5 万元，应全部用于报纸广告. 16.化二重积分Ddyxf),(为二次积分，其中D是由 （1）1, 0, 0=+=xyyx所围成的区域. （2）xyxyxy=2,3,所围成的区域.
11、解： （1）由于积分区域xyxyxD=10 , 10),(，所以 =xDdyyxfdxdyxf1010),(),( （2）由于积分区域 12( , )13,( , )33,3DDDx yxxyxx yxxy=， 所以 31( , )( , )xx Df x y ddxf x y dy=333( , ) xdxf x y dy+或231( , )( , )yy Df x y ddyf x y dx=. 17. 交换积分次序 (1) dyyxfdxx1010),(. (2) dxyxfdydxyxfdyyy+2120100),(),( 解： （1）由于积分区域( , ) 01,01Dx yxyx=
12、 ， 而积分区域又可以化为yxyyxD=10 , 10),(， 所以 dyyxfdxx 1010),(dxyxfdyy=1010),(（2）由于积分区域12DDD=， 1( , ) 0,01 ,Dx yxyy=2( , ) 02,12Dx yxyy= 而积分区域又可以化为xyxxyxD=2, 10),(， 所以 dxyxfdydxyxfdyyy+2120100),(),(dyyxfdxx=1020),( 18.(1)计算dxdyxeDxy，其中10 , 10),(=yxyxD. (2)计算dxdyyxD+)23(，其中D是由两坐标轴及直线2=+ yx所围成的区域. (3)计算dxdyyxD+)
13、6(，其中D是由1,5,=xxyxy所围成的区域. (4)计算dxdy yxD22 ，其中D是由xyx=,2和1=xy所围成的区域. 17（2） 解： （1）dxdyxeDxydyxedxxy=101011110000()()yxyxyydxe d xyedx=10) 1(dxex2= e（2）由于积分区域 xyxyxD=20 , 20),(，所以 dxdyyxD+)23(2200(32 )xdxxy dy=+320)224(202=+=dxxx （3）由于积分区域 xyxxyxD5, 10),(=，所以 dxdyyxD+)6(150(6 )xxdxxy dy=+12076763x dx=.
14、（4）由于积分区域 =xyxxyxD1, 21),( dxdy yxD2222121xxxdxdyy=2319().4xx dx=19.(1) 计算dxdy yxD+2211，其中 D 是由422+ yx所确定的圆域. (2) 计算dxdyyxaD222，其中 D：222ayx+. (3)计算dxdyeDyx22 ，其中 D：222Ryx+. (4) 计算dxdyyxD+22，其中 D：yyx222+. 解： （1）由于积分区域20 , 20),(=rrD，所以 dxdy yxD+2211drdrrD+=211rdrrd+=2022011201ln52d=5ln=. （2）由于积分区域20 ,0),(=arrD，所以 dxdyyxaD22222Darrdrd=22200adar rdr=322232
